# Algebra
- Profesor: Jesús Arriaga Garza
Temas para el primer parcial
- Introducción a los números reales
- Propiedades de los números reales
- Propiedades de campo
- Potencias, logaritmos y funciones exponenciales. Aplicaciones
Evaluación
- Actividades (8 => 1 por clase) 20%
- Tareas (laboratorios: 8 o menos) 20%
- Examen 60%
# Plataforma ALEKS LATAM
- Curso:
18 semanas
- Código de clase:
X3NGW_GGRNQ
- Código de descuento:
HE_UVM18W
- Naturales:
1, 2, 3, 4... => Reales
- Operaciones:
Suma y multiplicación
# Axiomas de campo
- Cerradura para la suma y la multiplicación: Suma y multiplicación se satisfacen.
- Conmutatividad (+, ): Se satisface para la suma a+b=b+a y la multiplicación ab=b*a
- Asociatividad (+, *): el orden de los factores no altera el producto.
Construcción del conjunto de los números Reales (R) a partir del conjunto de los Naturales (N)
- Naturales = N = {1, 2, 3, 4, 5…}
Se somete N (los Naturales) a 6 axiomas de campo, bajo las operaciones de suma y multiplicación.
- Axioma de Cerradura (+, *). Si a y b están en N:
- a + b también estará en N: 3 + 4 = 7
- a * b también estará en N: 3 * 4 = 12
- Axioma de conmutabilidad (+, *). Si a y b están en N: (se puede cambiar el orden)
- a + b = b + a: 3 + 4 = 4 + 3
- a * b = b * a: 3 * 4 = 4 * 3
- Axioma de asociatividad (+, *). Si a, b y c están en N:
- a + (b + c) = (a + b) + c
- 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5
- 3 + 9 = 7 + 5
- 12 = 12
- a * (b * c) = (a * b) * c
- 3 * (4 * 5) = (3 * 4) * 5
- 3 * 20 = 12 * 5
- 60 = 60
- Axioma de distributivilidad de la multiplicación respecto a la suma. Si a, b y c están en N:
- a * (b + c) = a * b + a * c
- 3 * (4 + 5) = 3 * 4 + 3 * 5
- 3 * 9 = 12 + 15
- 27 = 27
- Axioma de los elementos neutros o identidad (+, *):
- a + 0 = a
- “conjunto N” U {0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}
- a * 1 = a
- El “0” y el “1” son los elementos neutros o de identidad para la suma y la multiplicación respectivamente.
- Axioma de los elementos inversos (+, *)
- Suma: a + (-a) = 0
- Si
a
son los enteros positivosE+
y-a
son los enteros negativosE-
- Entonces: N U {0} U E-
- Entonces: E+ U {0} U E-
- Multiplicación: a * (1/a) = 1
- 3 * (1/3) = 1
- Se necesitan las fracciones de la forma {p/q} (todas las fracciones)
- Entonces: E+ U E- U {0} U {p/q}
- A los números que se pueden expresar como el cociente de 2 enteros se llaman RACIONALES: E + U E- U {0} U {p/q}
Los números IRRACIONALES no se pueden expresar como el cociente de 2 enteros. Por ejemplo: π o e, y sus factores -2π, -8π, 2e…
- Los números Reales son: E + U E- U {0} U {p/q} U I (Irracionales)
- REALES = RACIONALES + IRRACIONALES
# Actividad 2
Hay que expresar que axioma se aplica en cada ejercicio:
- Cerradura para la suma: 3 + 6 = 9
- Cerradura para la suma: 5 + 14 = 19
- Conmutabilidad para la suma: 6 + 7 = 7 + 6
- Conmutabilidad para la suma: 5 + 8 = 8 + 5
- Cerradura para la multiplicación: 3 * 8 = 24
- Cerradura para la multiplicación: 6 * 1 = 6
- Conmutabilidad para la multiplicación: 9 * 2 = 2 * 9
- Conmutabilidad para la multiplicación: 10 * 3 = 3 * 10
- Asociatividad para la suma: 2 + (3 + 6) = (2 + 3) + 6
- Conmutabilidad para la suma: 5 + (2 + 1) = (5 + 2) + 1
- Asociatividad para la multiplicación: 2 * (3 * 6) = (2 * 3) * 6
- Asociatividad para la multiplicación: 5 * (2 * 1) = (5 * 2) * 1
- Distributivilidad de la multiplicación respecto a la suma: 6 * (4 + 5) = 6 * 4 + 6 * 5
- Cerradura para la suma: 6 + 0 = 6
- Cerradura para la multiplicación: 7 * 1 = 7
- Elementos neutros o identidad para la suma: 4 + (-4) = 0
- Elementos inversos para la multiplicación: 6 * (1/6) = 1
# Regla de signos para la multiplicación y la división
# Multiplicación
- (+) * (+) = +
- (+) * (-) = -
- (-) * (+) = -
- (-) * (-) = +
# División
- (+) / (+) = +
- (+) / (-) = -
- (-) / (+) = -
- (-) / (-) = +
# Actividad 3
Efectuar las siguientes multiplicaciones.
- (+3) * (+4) = +12
- (-5) * (-3) = +15
- (+4) * (-5) = -20
- (-3) * (6) = -18
- (-6) * (5) = -30
- (1) * (-6) = -6
- (-3) * (-3) = +9
- (+3) * (-12) = -32
- (+4) * (+8) = +32
- (-4) * (-8) = +32
- (-5) * (-12) = +60
- (-8) * (-1) = +8
- (+7) * (-9) = -63
- (+5) * (-8) = -40
- (-8) * (-3) = +24
- (-9) * (+3) = -27
- (-7) * (+7) = -49
- (-6) * (-8) = +48
- (-4) * (-2) * (-4) = -32
- (+3) * (-2) * (+5) = -30
- (-2) * (-3) * (-4) = -24
- (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = 16
- (-3) * (+2) * (-2) * (+1) * (-1) * (+5) = -60
- (-2) * (-2) * (+4) * (-5) * (+1) * (-1) = 80
- (-7) * (+7) * (+15) * (-3) * (-6) = -13230
Efectuar las siguientes divisiones:
- 15 / 3 = 5
- -15 / -3 = 5
- -15 / 3 = -5
- 15 / -3 = -5
- 12 / -6 = -2
- -6 / -6 = 1
- -8 / 1 = -8
- 6 / 3 = 2
- -24 / 8 = -3
- -12 / 3 = -4
- 10 / -2 = -5
- -20 / 5 = -4
- -18 / -3 = 6
- 18 / -3 = -6
- 18 / 3 = 6
- -6 / -3 = 2
- 4 / -4 = -1
- 12 / -6 = -2
- -5 / 1 = -5
- -12 / 3 = -4
- -24 / 6 = -24
- 24 / -8 = -3
- -9 / -9 = 1
- 14 / 1 = 14
- -28 / 14 = -2
# Actividad 4
Operaciones combinadas:
- (-7 + (-4)) / (-9 * 8) = 0.152 = 11 / -72
- ((-3) * (-4)) / -6 = -2
- ((-3 * 5) – (-2*4)) / (-8 * 7) = 0.125 = -7 / -56
- ((3 * 1) – (-2 * 5)) / (-3 * 2) = -2.166 = 13 / -6
- (-4 * -2 * -3) / (-5 * -10) = -0.48 = -24 / 50
# Fracciones
- Fracciones con igual denominador
- Fracciones con diferente denominador
# Actividad 5
# Escribir en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales
- A + B
- A – B
- A * B
- X * Y * Z – 5
- 3X
- (X/Y) * (X/Y)
- X/Y
- (X + Y) / Z
- (X - Y) / Z
- (X+Y) / (X-Y)
- X² + 13
- X³ – 6
- 3X²
- 2X³
- √(X*Y)
- (X + Y)²
- X² + Y²
- (X - Y)²
- X² - Y²
- (X + Y)³
- X³ + Y³
- (X - Y)³
- X³ - Y³
- X² /2
- (X/2)²
- X³ /3
- (X/3)³
- P = A + B +C
- d = v * t
- A = b * h
- A = (a + b) * h
- X + 3 = 8
- X – 5 = 13
- X + 4 = 10 – X
- 3X = 2Y
# Actividad 6
# Escribir en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas
- El doble de un número más otro número
- El producto de 3 números
- El producto de 2 números mas la suma de esos mismos números
- Un numero menos la diferencia de 2 números
- La suma de 2 números menos la diferencia de esos mismos números
- La suma de 2 números entre 10
- La suma de 2 números menos la diferencia de esos números entre el producto de esos números
- El triple del cuadrado de un numero
- El cuadrado de la suma de 2 números entre 2
- La suma de 2 números al cuadrado dividido entre 2
- La diferencia de los cuadrados de 2 números
- El perímetro es igual al triple de un lado de un triángulo equilátero
- El tiempo es igual a la distancia entre la velocidad
- El perímetro es igual al doble de la suma de 2 de los lados de un rectángulo
- El área es igual al cuadrado de un lado de un cuadrado
# Leyes de los exponentes
- Elementos de un término algebraico +3x⁴ (Signo / Coeficiente o factor numérico (veces que la literal se expresa como sumando) / Base o factor literal / Exponente)
# 1ra Ley de Exponentes
- x^m * x^n = x^(m+n)
- x² * x⁵ = x^(2+5) = x⁷
# 2da Ley de Exponentes
- x^m / x^n = x^(m-n)
- x⁷ / x³ = x^(7-3) = x⁴
# 3ra Ley de Exponentes
- x⁰ = 1
# 4ta Ley de Exponentes
- (x * y)^m = x^m * y^m
# 5ta Ley de Exponentes
- (x^m)^n = x^(m*n)
- (3x²)³ = 3³ * x⁶
# 6ta Ley de Exponentes
- x^+m = 1 / x^-m
- x^-m = 1 / x^+m
- x^-5 = 1 / 3^+5
# Actividad 6
- x ^ 8
- 5 ^ 5
- 2 ^ 7
- x ^ (m + n)
- x ^ (2n + 1)
- 3³
- x⁵
- x⁵
- x ^ (m + n - r)
- /
- x⁶
- 10 ^ -10
- 10 ^ -6
- 5 ^ -1
- -x²⁰
- -x²⁰
- 10 ^ (3 / 2)
- x ^ (m * n)
- x ^ 6
- 81 ^ 3/2
- 9 (x ^ 2)
- (4 ^ n) (x ^ n) (y ^ n)
- 15 ^ 3 = 3375
- (16xy⁶) ^ (1/2)
- (x⁴) (y⁶)
- 125 (x ^ 6)
- 81 x ^ 6 y ^ 7
- x ^ 2 / y ^ -6
- 0
- 0
- (x ^ n) (y ^ n)
- 125 * 1000⁵
- x ^ h / y ^ h
- 9 / 16
- 4x / 9y
- x ^ 2n / y ^ 3n
- 25 / 9
- 4 / 25
- x ^ 2 / y⁴
- 0
- x ^ m / x ^ n
- x³ / x²
- 7⁵ / 7²
- 10 ^ (3 / 2)
- x ^ (m * n)
- x⁶
- 81 ^ 3/2
- 9 (x ^ 2)
- 3³
- 34x⁵
- 8x⁵
- y * 3x ^ (m + n)
- 1
- 4y
- 5
- 7
- 2
- 0
- 0
- 0
- -6
- -5
- 4x⁴
- 4x⁴
# Actividad 8
- 5 > 3
- 4 > -1
- -5 > -7
- -9 > -100
- 4 > 3
- 4 > 0
- 4 > -4
- -9 < -8
- -20 > -21
- -10 = -10
- 7 = 7
- 9 > -9
- -100 < -99
- -1000 < -999
# Evaluar una expresión
Expresión | Valores | Sustitución | Resultado |
---|---|---|---|
3a - b | a = -5, b = -3 | 3 * -5 - (-3) | 12 |
7x - 3y + 4 | x = -1, y = -3 | 7 * -1 - 3 * -3 + 4 | 6 |
10w - 4x - 5y | w = -2, x = 0, y = -10 | 10 * -2 - 4 * 0 - 5 * -10 | 30 |
7 - 3a - 4b | a = -6, b = -3 | 7 - 3 * -6 - 4 * -3 | 37 |
10 - 3x - 3y - 4w | x = 1, y = -5, w = -2 | 10 - 3 * 1 - 3 * -5 - 4 * -2 | 30 |
# Aplicar el axioma de distributibilidad
- 4 * (6x - 8y - 3z - 1) = 24x - 32y - 12z - 4
- 7 * (3a + 6b - 8c + 2) = 21a + 42b - 56c + 14
- 3x * (2x² - 3x - 1) = 3x² - 6x² -3x
- 4w * (-6w³ + 8w² - 3w - 5) = - 16x⁴ + 32w³ - 12w² - 2a
- 6x² * (-2x² -2x -3) = 12z² -24z³ -16z
# Suma y resta de fracciones
- 9 / 5
- 10 / 2
- 1 / 5
- 2 / 5
- 1 / 4
- 1 / 6
- 8 / 24
- 7 / 20
- 3 / 6
- 4 + 3 / 4
# Notación decimal y notación potencia base 10
- 1 000 = 1 * 10 ^ 3
- 30 000 = 3 * 10 ^ 4
- 0.000 007 = 7 * 10 ^ -6
- 0.4 * 10 ^ 8 = 40 000 000
- 5 * 10 ^ -5 = 0.000 04
- 7.12 * 10 ^ -6 = 0.000 007 12
# Actividad 9
- 1 000 000 000 000 = 1 * 10¹²
- 1 000 000 000 = 1 * 10⁹
- 1 000 000 = 1 * 10⁶
- 1 000 = 1 * 10³
- 100 = 1 * 10²
- 10 = 1 * 10¹
- 1 = 1 * 10⁰
- 0.1 = 1 * 10 ^ -1
- 0.01 = 1 * 10 ^ -2
- 0.001 = 1 * 10 ^ -3
- 0.000 1 = 1 * 10 ^ -4
- 0.000 01 = 1 * 10 ^ -5
- 0.000 000 001 = 1 * 10 ^ -9
- 0.000 000 000 001 = 1 * 10 ^ -12
- 5 = 5 * 10⁰
- 250 = 25 * 10¹
- 7580 = 758 * 10¹
- 3 500 000 = 3.5 * 10⁶
- 0.2 = 2 * 10 ^ -1
- 0.07 = 7 * 10 ^ -2
- 0.000 48 = 4.8 * 10 ^ -5
- 0.000 000 327 = 3.27 * 10 ^ -9
- 0.000 07 * 4 300 000 000 = 301 000 = 3.01 * 10⁵
# Actividad 10
Multiplicación y división de fracciones. √
- 6 / 15 = 2 / 5
- 10 / 15
- -7 / -15
- -50 / -12 = -25 / -6
- -2 / -21
- -35 / -16
- 2 / 15
- 35 / 24
- 3 / 5
- 8 / 9
- 30 / 2 = 15 / 1
- -63 / -40
- -36 / -10
- -99 / -8
- -80 / -117
- 49 / 40
- log 54 = 1.73239375982
- log 235 = 2.37106786227
- log 75 = 1.87506126339
- log 1250 = 3.09691001301
- log 815 = 2.91009054559
- log 900 = 2.91009054559
- log √0 = 2.95424250944
- log √7 = 0.42254902
- log √5 = 0.34948500216
- log √0.07 = -0.57745097999
- log √0.0019 = -1.36062319952
- log √0.00005 = -2.15051499783
- ln 54 = 3.98898404656
- ln 235 = 5.45958551414
- ln 75 = 4.31748811354
- ln 1250 = 7.1308988303
- ln 900 = 6.80239476332
- ln 0.07 = -2.65926003693
- ln 0.0019 = 0
- ln 0.0005 = -7.60090245954
# Actividad 11
Considerar las siguientes propiedades de los números reales:
- Propiedad conmutativa de la suma (no importa el orden)
- Propiedad asociativa de la suma (no importan los parentesis)
- Propiedad de identidad para la suma (sumar 0 a cualquier número da como resultado el mismo número)
- Propiedad inversa para la suma (un número sumado por su opuesto da 0)
- Propiedad distributiva (la multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos)
- Propiedad conmutativa para la multiplicación (no importa el orden)
- Propiedad asociativa para la multiplicación (no importan los parentesis)
- Propiedad de identidad para la multiplicación (multiplicar 1 a cualquier número da como resultado el mismo número)
- Propiedad inversa para la multiplicación (un número multiplicado por su opuesto da 0)
- Propiedad multiplicativa del 0 (el producto de cualquier número Real x y 0 es siempre igual a 0)
- Propiedad conmutativa de la suma
- Propiedad multiplicativa del 0
- Propiedad asociativa para la multiplicación
- Propiedad de inversa para la multiplicación
- Propiedad de identidad para la suma
- Propiedad de inversa para la multiplicación
- Propiedad conmutativa para la multiplicación
- Propiedad asociativa para la multiplicación
- Propiedad de inversa para la multiplicación
- Propiedad de multiplicativa del 0
- Propiedad asociativa para la multiplicación
- Propiedad conmutativa de la suma
- Propiedad multiplicativa del 0
- Propiedad de inversa para la multiplicación
- Propiedad conmutativa de la suma
- Propiedad asociativa para la multiplicación
- Propiedad conmutativa para la multiplicación
- Propiedad asociativa para la suma
- Propiedad multiplicativa del 0
- Propiedad de identidad para la multiplicación
# Evaluar
- (-8)² = 64
- (-4)³ = -64
- (-5)³ = -125
- (-8)⁴ = 4096
- (-9)² = 81
- (-4)³ = -64
- (-5)⁴ = 625
- (-8)³ = -512
- (-7)³ = -343
- (-9)⁵ = -59049
# Actividad 12
# Responder a lo siguiente
Cierta solución tiene una concentración de iones de hidrógeno de
0.000 006 53
moles por litro. Escribir este número en notación científica (Potencias base 10):6.53*10^-6
Una ballena de aleta puede pesar hasta
2.6*10^5
libras, escriba este número en notación estandar (Decimal):260 000
Un telescopio infrarrojo de un astrónomo puede detectar radiación de un rango de onda de
8.35*10^-5
metros. Escriba este número en notación estandar:0.000 083 5
El diametro de plutón en el ecuador es aproximadamente de
2 390
km. Escribir este número en notación científica:2.39*10^3
Cierta solución tiene una concentración de iones de
0.000 165
moles por litro. Escribir este número en notación científica:1.65*10^-4
Un objeto puede pesar hasta
2.6*10^-5
libras. Escribir este número en notación decimal:0.000 026
Una solución tiene una concentración de
3.54*10^-6
moles por litro. Escribir el número en notación estandar:0.000 003 54
Una ballena jorobada puede pesar hasta
110 000
libras. Escribir el número en notación científica:1.1*10^5
# Aplicar las leyes de los exponentes
- x³ * x⁵ = x⁸
- 5³ * 5² = 3125
- 2⁴ * 2³ = 128
- 3^-2 * 3^-1 = 0.03703703703 = 3.7*10²
- 7⁵ * 7^-3 = 49
- 8^-2 * 8^-5 = 4.76837*10^-7
- 16⁰ = 0
- (√25)⁰ = 0
- (6 * 4)^-2 = 0.00173611111 = 1.73*10³
- (10^-2)^3 = 0.000001 = 1*10^-6
- (x^5)^4 = x^20
- (x^-2)^-3 = x⁶
- (4^2*7)⁰ = 0
- (510^2)⁵ = 125 000 000 = 1.2510⁸
- 7⁵ / 7² = 343
- 10² / 10^-6 = 100 000 000 = 1*10⁸
- 2⁴ / 2³ = 2
- 15² / 15^-2 = 50625
# Números racionales e irracionales
Racionales: Se pueden expresar como el cociente de 2 enteros y su representación decimal es exacta o tiene periodicidad.
- 3.72: Exacta
- 4.833333333333333333333333333333: Periódica
- 7.251251251251251251251251251251: Periódica
Irracionales: No se pueden expresar como el cociente de 2 enteros y su representación decimal no es exacta, ni presenta periodicidad.
- √2, √3, π, 3π, √7, √9, √13
- 2.398269732034623976473290564387
- Y todos los posibles múltiplos o submúltiplos de ellos
# Actividad 13
Número | Racional | Irracional |
---|---|---|
2√6 | ✘ | ✔ |
-8.2828... | ✔ | ✘ |
24.24 | ✔ | ✘ |
-15π | ✘ | ✔ |
-(17/2) | ✔ | ✘ |
-9π | ✘ | ✔ |
-42.7575... | ✔ | ✘ |
-√13 | ✘ | ✔ |
√25 | ✔ | ✘ |
-16π | ✘ | ✔ |
-88.28 | ✔ | ✘ |
-2√3 | ✘ | ✔ |
-√9 | ✔ | ✘ |
-52.4646... | ✔ | ✘ |
-22.8080... | ✔ | ✘ |
4π | ✘ | ✔ |
-√16 | ✔ | ✘ |
-√2 | ✘ | ✔ |
-42.76 | ✔ | ✘ |
20π | ✘ | ✔ |
-52.46 | ✔ | ✘ |
-3√2 | ✘ | ✔ |
-43.8181... | ✔ | ✘ |
√36 | ✔ | ✘ |
52.6363... | ✔ | ✘ |
12π | ✘ | ✔ |
-22.81 | ✔ | ✘ |
2√3 | ✘ | ✔ |
12/11 | ✔ | ✘ |
-7.3131... | ✔ | ✘ |
-3π | ✘ | ✔ |
√19 | ✘ | ✔ |
63.5757... | ✔ | ✘ |
# Expresiones exponenciales logarítmicas
Logaritmo de un número es igual al exponente del cual hay que elevar una base para obtener dicho número
- Forma exponencial:
a ^ m = b
- Forma logarítmica:
logₐ = m
# Actividad 14
Pasar a representación logarítmica
- 2³ = 8
->
log₂ 8 = 3 - 3² = 9
->
log₃ 9 = 2 - 4² = 16
->
log₄ 16 = 2 - 7² = 49
->
log₇ 49 = 2 - 10² = 100
->
log₁₀ 100 = 2 - 6² = 36
->
log₆ 36 = 2 - 8² = 64
->
log₈ 64 = 2 - 2⁴ = 16
->
log₂ 16 = 4 - 3³ = 27
->
log₃ 27 = 3 - 10³ = 1000
->
log₁₀ 1000 = 3
# Propiedades de los logarítmos
- logₐ (x*y) = logₐ x + logₐ y
- logₐ (x/y) = logₐ x - logₐ y
- logₐ xⁿ = n logₐ x
# Utilizar las propiedades de los logaritmos para evaluar cada expresión
- log₂ 36 - 2 log₂ 3 = log₂ (36/9) = log₂ 4 = 2
- logₑ e⁻⁸ - logₑ e³ = logₑ e⁻⁸⁺³ = logₑ e⁻⁵ = -5
- log₆ 9 + 2 log₆ 2 = log₆ (9*4) = log₆ 36 = 2
- logₑ e⁸ - logₑ e² = logₑ (e⁸/e²) = logₑ e⁶ = 6
- 2 log₁₂ 2 + log₁₂ 3 = log₁₂ (2² * 3¹) = log₁₂ 12 = 1
- logₑ e² - logₑ e¹¹ = logₑ (e²/e¹¹) = logₑ e⁻⁹ = -9
- log₃ 72 - 3 log₃ 2 = log₃ (72/8) = log₃ 9 = 2
- logₑ e⁶ + logₑ e⁻¹² = logₑ e⁶⁻¹² = log e⁻⁶ = -6
# Funciones cuadráticas
- y = f(x) = Ax² + Bx + C
En los puntos de corte con el eje x
, la y
vale 0
: (X₁, 0), (X₂, 0)
- Ecuación cuadrática general: Ax² + Bx + C = 0 La solución arroja los valores de x₁ y x₂
Ejemplo
- 1x²+7x+12 = 0-(7) ± √(7² - (4 * 1 * 12))2 * 1-7 ± 12x₁ = -3x₂ = -4
- 1x²-3x-10 = 0-(-3) ± √(-3² - (4 * 1 * -10))2 * 13 ± 72x₁ = 5x₂ = -2
- 1x²+10x+9 = 0-(10) ± √(10² - (4 * 1 * 9))2 * 1-10 ± 82x₁ = -1x₂ = -9
# Actividad 3
Aplicar la formula general para obtener las raíces o soluciones de ecuaciones cuadráticas
- 2x²-6x-8 = 0-(-6) ± √(-6² - (4 * 2 * -8))2 * 26 ± 104x₁ = 4x₂ = -1
- 2x²-4x-30 = 0-(-4) ± √(-4² - (4 * 2 * -30))2 * 24 ± 164x₁ = 5x₂ = -3
- 2x²-3x+1 = 0-(-3) ± √(-3² - (4 * 2 * 1))2 * 23 ± 14x₁ = 1x₂ = 0.5
- 3x²+10x-5 = 0-(10) ± √(10² - (4 * 3 * -5))2 * 3-10 ± 12.6491106406735186x₁ = 0.441518440112253x₂ = -3.7748517734455866
- 5x²-3x-36 = 0-(-3) ± √(-3² - (4 * 5 * -36))2 * 53 ± 2710x₁ = 3x₂ = -2.4
- 4x²+7x+3 = 0-(7) ± √(7² - (4 * 4 * 3))2 * 4-7 ± 18x₁ = -0.75x₂ = -1
- 6x²-3x-18 = 0-(-3) ± √(-3² - (4 * 6 * -18))2 * 63 ± 2112x₁ = 2x₂ = -1.5
- 7x²-9x+2 = 0-(-9) ± √(-9² - (4 * 7 * 2))2 * 79 ± 514x₁ = 1x₂ = 0.2857142857142857
# Actividad 4
- Si a un número se le agrega su cuadrado se obtiene 90. Hallar el número
1x²+1x-90 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * -90))2 * 1-1 ± 192x₁ = 9x₂ = -10
- Hallar el número cuyo cuadrado disminuido en el doble del número da 15
1x²-2x-15 = 0-(-2) ± √(-2² - (4 * 1 * -15))2 * 12 ± 82x₁ = 5x₂ = -3
- Encontrar el número cuyo duplo de su cuadrado disminuido en el número es igual a 45
2x²-1x-45 = 0-(-1) ± √(-1² - (4 * 2 * -45))2 * 21 ± 194x₁ = 5x₂ = -4.5
- Hallar 2 números que sumados den 12 y multiplicados den 35
1x²-12x+35 = 0-(-12) ± √(-12² - (4 * 1 * 35))2 * 112 ± 22x₁ = 7x₂ = 5
- La suma de 2 números es 14 y la suma de sus cuadrados es 106. ¿Cuáles son esos números?
2x²-28x+90 = 0-(-28) ± √(-28² - (4 * 2 * 90))2 * 228 ± 84x₁ = 9x₂ = 5
- La suma de los cuadrados de 3 números naturales consecutivos es 110- ¿Cuáles números son?
5x²+6x+7 = 0-(6) ± √(6² - (4 * 5 * 7))2 * 5-6 ± -410x₁ = -1x₂ = -0.2
- El producto de 2 números enteros consecutivos es 600. Hallar los números.
1x²+1x-600 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * -600))2 * 1-1 ± 492x₁ = 24x₂ = -25
- Encontrar el número cuyo quintuple aumentado en 500 es igual a su cuadrado
1x²-5x-500 = 0-(-5) ± √(-5² - (4 * 1 * -500))2 * 15 ± 452x₁ = 25x₂ = -20
- Hallar 2 números pares consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 116
1x²+28x+30 = 0-(28) ± √(28² - (4 * 1 * 30))2 * 1-28 ± 25.7681974534502522x₁ = -1.1159012732748739x₂ = -26.884098726725128
- Hallar un número tal que la mitad de su cuadrado disminuida en 8 dé 120
1x²-8x-20 = 0-(-8) ± √(-8² - (4 * 1 * -20))2 * 18 ± 122x₁ = 10x₂ = -2
- El perímetro de un rectángulo es de 140 m y el área es de 1200 m². Hallar sus dimensiones
1x²+1x+1 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))2 * 1-1 ± -42x₁ = -2.5x₂ = 1.5
- Un lado del rectángulo excede al ancho en 10 m y el área es de 2000 m². Hallar sus dimensiones
1x²+1x+1 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))2 * 1-1 ± -42x₁ = -2.5x₂ = 1.5
- Si al largo de un rectángulo se le restan 3 m se obtiene un cuadrado de 225 m² de área. Hallar las dimensiones y el área del rectángulo
1x²+1x+1 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))2 * 1-1 ± -42x₁ = -2.5x₂ = 1.5
- La base de un rectángulo es el doble de su altura y el área es de 228 m². Calcular sus dimensiones
1x²+1x+1 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))2 * 1-1 ± -42x₁ = -2.5x₂ = 1.5
- En un triangulo rectángulo el cateto mayor excede en 2 cm al menor y la hipotenusa supera en 2 cm al cateto mayor. Calcular la medida de cada lado
1x²+1x+1 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))2 * 1-1 ± -42x₁ = -2.5x₂ = 1.5
- Calcular el lado de un cuadrado cuya área disminuida en el producto del lado por 5 es igual a 126 m²
1x²+1x+1 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))2 * 1-1 ± -42x₁ = -2.5x₂ = 1.5
- La banqueta que rodea a un jardín rectángular es de 3 m de ancho. El jardín tiene 10 m más de largo que de ancho. Si el área del jardín es de 1496 m², ¿cúal es la longitud del lado exterior de la banqueta?
1x²+1x+1 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))2 * 1-1 ± -42x₁ = -2.5x₂ = 1.5
- Hallar el lado de un cuadrado; si si área se aumenta en el producto de dicho lado por 5 se hace igual a 500 m²
1x²+1x+1 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))2 * 1-1 ± -42x₁ = -2.5x₂ = 1.5
- En el octágono regular el apotema excede en 2 cm al lado del polígono. Si el área es de 320 cm², hallar las medidas del lado y de el apotema.
1x²+1x+1 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))2 * 1-1 ± -42x₁ = -2.5x₂ = 1.5
- El área de un trapecio es de 84 cm². La base mayor es el doble de la menor y la altura excede en 1 cm a la base menor. Determine la medida de cada una de ellas
1x²+1x+1 = 0-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))2 * 1-1 ± -42x₁ = -2.5x₂ = 1.5
# Suma de complejos
- (A + Bi) + (C + Di) = (A + C) + (B + D)i
- (+3+5i) + (+7+5i)(+3+7) + (+5+5)i10+10i
- (+10+2i) + (+20+8i)(+10+20) + (+2+8)i30+10i
- (-2+3i) + (-20+5i)(-2-20) + (+3+5)i-22+8i
- (-8-7i) + (-7-3i)(-8-7) + (-7-3)i-15-10i
- (+9-12i) + (-9+8i)(+9-9) + (-12+8)i0-4i
# Multiplicación de complejos
- (+3+5i) * (+7+5i)+21+15i+35i+25i²+21+15i+35i-25-4+50i
- (+2+7i) * (-3-6i)-6-12i-21i-42i²-6-12i-21i+42+36-33i
- (-5-4i) * (-7+3i)+35-15i+28i-12i²+35-15i+28i+12+47+13i
- (-10+20i) * (+7-3i)-70+30i+140i-60i²-70+30i+140i+60-10+170i
- (-8+4i) * (-1-3i)+8+24i-4i-12i²+8+24i-4i+12+20+20i
- (+10-3i) * (-2+8i)-20+80i+6i-24i²-20+80i+6i+24+4+86i
# Complejos conjugados
Si +3+5i es un complejo, su complejo conjugado será +3-5i, se cambia el signo de la parte imaginaria
# Actividad 5
- (+6+5i) * (+6-5i)+36-25i²+36+25+61
- (+10+7i) * (+10-7i)+100-49i²+100+49+149
- (-4+2i) * (-4-2i)+16-4i²+16+4+20
- (-8+13i) * (-8-13i)+64-169i²+64+169+233
- (-9-8i) * (-9+8i)+81-64i²+81+64+145
- (-12-4i) * (-12+4i)+144-16i²+144+16+160
- (+15-8i) * (+15+8i)+225-64i²+225+64+289
- (+20-15i) * (+20+15i)+400-225i²+400+225+625
# División de complejos
- +3-5i-4+3i(+3-5i) * (-4-3i)(-4+3i) * (-4-3i)-12-9i+20i+15i²+16+12-12+11i+15i²+28-12+11i-15+28-3-21i+28
- -7-3i+4+6i(-7-3i) * (+4-6i)(+4+6i) * (+4-6i)-28+42i-12i+18i²+16-24-28+30i+18i²-8-28+30i-18-8-70+14i-8
- +8-5i+7+8i(+8-5i) * (+7-8i)(+7+8i) * (+7-8i)+56-64i-35i+40i²+49-56+56-99i+40i²-7+56-99i-40-7+120-8i-7
- +9-10i+10+12i(+9-10i) * (+10-12i)(+10+12i) * (+10-12i)+90-108i-100i+120i²+100-120+90-208i+120i²-20+90-208i-120-20+198-18i-20
- +4+6i+11+12i(+4+6i) * (+11-12i)(+11+12i) * (+11-12i)+44-48i+66i-72i²+121-132+44+18i-72i²-11+44+18i+72-11+92-4i-11
- +9+11i+12-3i(+9+11i) * (+12+3i)(+12-3i) * (+12+3i)+108+27i+132i+33i²+144+36+108+159i+33i²+180+108+159i-33+180+81+135i+180
# Actividad 6
# Suma de complejos
- (+3-7i) + (+10-8i)(+3+10) + (-7-8)i13-15i
- (-4-6i) + (-2-3i)(-4-2) + (-6-3)i-6-9i
- (+10-5i) + (-2+7i)(+10-2) + (-5+7)i8+2i
- (-7+8i) + (-8-3i)(-7-8) + (+8-3)i-15+5i
- (+11-2i) + (+7-3i)(+11+7) + (-2-3)i18-5i
# Resta de complejos
- (+7+2i) - (-3+4i)(+7+2i) + (+3-4i)(+7+3) + (+2-4)i10-2i
- (+11-4i) - (+12+6i)(+11-4i) + (-12-6i)(+11-12) + (-4-6)i-1-10i
- (+9-8i) - (+4-6i)(+9-8i) + (-4+6i)(+9-4) + (-8+6)i5-2i
- (+4+4i) - (+7-7i)(+4+4i) + (-7+7i)(+4-7) + (+4+7)i-3+11i
- (-11+2i) - (-3+4i)(-11+2i) + (+3-4i)(-11+3) + (+2-4)i-8-2i
# Multiplicación de complejos
- (+7-3i) * (-8-6i)-56-42i+24i+18i²-56-42i+24i-18-74-18i
- (+10+4i) * (-6-7i)-60-70i-24i-28i²-60-70i-24i+28-32-94i
- (+9-6i) * (+10-4i)+90-36i-60i+24i²+90-36i-60i-24+66-96i
- (+10-3i) * (+7+6i)+70+60i-21i-18i²+70+60i-21i+18+88+39i
- (-4-6i) * (-8-7i)+32+28i+48i+42i²+32+28i+48i-42-10+76i
# División de complejos
- -4+8i-6-7i(-4+8i) * (-6+7i)(-6-7i) * (-6+7i)+24-28i-48i+56i²+36-42+24-76i+56i²-6+24-76i-56-6+52-4i-6
- +11-10i-3-11i(+11-10i) * (-3+11i)(-3-11i) * (-3+11i)-33+121i+30i-110i²+9-33-33+151i-110i²-24-33+151i+110-24-154+88i-24
- -5-3i-8-2i(-5-3i) * (-8+2i)(-8-2i) * (-8+2i)+40-10i+24i-6i²+64-16+40+14i-6i²+48+40+14i+6+48+50+30i+48
- -7+2i-9-3i(-7+2i) * (-9+3i)(-9-3i) * (-9+3i)+63-21i-18i+6i²+81-27+63-39i+6i²+54+63-39i-6+54+84+42i+54
- -8-12i-2-7i(-8-12i) * (-2+7i)(-2-7i) * (-2+7i)+16-56i+24i-84i²+4-14+16-32i-84i²-10+16-32i+84-10+72-40i-10
# Actividad 7
2 multiplicaciones y dividir sus resultados
- (+3+7i) * (-2-5i)-6-15i-14i-35i²-6-15i-14i+35+29-29i
- (-3-11i) * (+2+4i)-6-12i-22i-44i²-6-12i-22i+44+38-34i
- -10+24i-24-10i(-10+24i) * (-24+10i)(-24-10i) * (-24+10i)+240-100i-576i+240i²+576-240+240-676i+240i²+336+240-676i-240+336+340+140i+336
2 multiplicaciones y dividir sus resultados
- (-4-6i) * (-2-3i)+8+12i+12i+18i²+8+12i+12i-18-10+24i
- (-3+2i) * (+4+6i)-12-18i+8i+12i²-12-18i+8i-12-24-10i
- -10-24i-24-10i(-10-24i) * (-24+10i)(-24-10i) * (-24+10i)+240-100i+576i-240i²+576-240+240+476i-240i²+336+240+476i+240+336+340+140i+336
2 multiplicaciones y dividir sus resultados
- (-3+7i) * (-5+2i)+15-6i-35i+14i²+15-6i-35i-14+1-41i
- (-4+2i) * (-8+3i)+32-12i-16i+6i²+32-12i-16i-6+26-28i
- +1-41i+26-28i(+1-41i) * (+26+28i)(+26-28i) * (+26+28i)+26+28i-1066i-1148i²+676+728+26-1038i-1148i²+1404+26-1038i+1148+1404-2+54i+1404
# Gráficas de números complejos
# Gráfica de complejos
Se llama módulo al número complejo Z
- |Z| = √(+3+4i)|Z| = √(+9+16)|Z| = √(25) = 5.000Módulo de +3+4i=5.000tg⁻¹(3/4)=36.870Z = 5.000(cos36.870°+sen36.870°i)
# Actividad 8
Dados los siguientes complejos (Z)
- Graficar
- Calcular módulo (Z)
- Calcular argumento (θ)
- |Z| = √(+3+7i)|Z| = √(+9+49)|Z| = √(58) = 7.616Módulo de +3+7i=7.616tg⁻¹(3/7)=23.199Z = 7.616(cos23.199°+sen23.199°i)
- |Z| = √(+5+2i)|Z| = √(+25+4)|Z| = √(29) = 5.385Módulo de +5+2i=5.385tg⁻¹(5/2)=68.199Z = 5.385(cos68.199°+sen68.199°i)
- |Z| = √(+8+3i)|Z| = √(+64+9)|Z| = √(73) = 8.544Módulo de +8+3i=8.544tg⁻¹(8/3)=69.444Z = 8.544(cos69.444°+sen69.444°i)
- |Z| = √(-3+2i)|Z| = √(+9+4)|Z| = √(13) = 3.606Módulo de -3+2i=3.606tg⁻¹(-3/2)=-56.310Z = 3.606(cos-56.310°+sen-56.310°i)
- |Z| = √(-6+3i)|Z| = √(+36+9)|Z| = √(45) = 6.708Módulo de -6+3i=6.708tg⁻¹(-6/3)=-63.435Z = 6.708(cos-63.435°+sen-63.435°i)
- |Z| = √(-5+7i)|Z| = √(+25+49)|Z| = √(74) = 8.602Módulo de -5+7i=8.602tg⁻¹(-5/7)=-35.538Z = 8.602(cos-35.538°+sen-35.538°i)
- |Z| = √(-4-7i)|Z| = √(+16+49)|Z| = √(65) = 8.062Módulo de -4-7i=8.062tg⁻¹(-4/-7)=29.745Z = 8.062(cos29.745°+sen29.745°i)
- |Z| = √(-2-3i)|Z| = √(+4+9)|Z| = √(13) = 3.606Módulo de -2-3i=3.606tg⁻¹(-2/-3)=33.690Z = 3.606(cos33.690°+sen33.690°i)
- |Z| = √(-8-2i)|Z| = √(+64+4)|Z| = √(68) = 8.246Módulo de -8-2i=8.246tg⁻¹(-8/-2)=75.964Z = 8.246(cos75.964°+sen75.964°i)
- |Z| = √(+4-8i)|Z| = √(+16+64)|Z| = √(80) = 8.944Módulo de +4-8i=8.944tg⁻¹(4/-8)=-26.565Z = 8.944(cos-26.565°+sen-26.565°i)
- |Z| = √(+7-3i)|Z| = √(+49+9)|Z| = √(58) = 7.616Módulo de +7-3i=7.616tg⁻¹(7/-3)=-66.801Z = 7.616(cos-66.801°+sen-66.801°i)
# Forma binómica de un complejo Z
X = a + bi
Módulo (Z) = |Z| = √(a² + b²)
Argumento (Z) = θ
- θ = tg⁻¹ (a / b)
- θ = cos⁻¹ (a / |Z|)
- θ = sen⁻¹ (b / |Z|)
cos θ = a / |Z| => a = |Z| cos θ
sen θ = b / |Z| => b = |Z| sen θ
- | Forma binómica | Forma polar |
---|---|---|
Z | a + bi | |Z| cos θ + |Z| sen θ i |
# Actividad 9
Expresar en forma polar los siguientes complejos
- |Z| = √(+4+6i)|Z| = √(+16+36)|Z| = √(52) = 7.211Módulo de +4+6i=7.211tg⁻¹(4/6)=33.690Z = 7.211(cos33.690°+sen33.690°i)
- |Z| = √(+5+2i)|Z| = √(+25+4)|Z| = √(29) = 5.385Módulo de +5+2i=5.385tg⁻¹(5/2)=68.199Z = 5.385(cos68.199°+sen68.199°i)
- |Z| = √(-4-2i)|Z| = √(+16+4)|Z| = √(20) = 4.472Módulo de -4-2i=4.472tg⁻¹(-4/-2)=63.435Z = 4.472(cos63.435°+sen63.435°i)
- |Z| = √(-6-7i)|Z| = √(+36+49)|Z| = √(85) = 9.220Módulo de -6-7i=9.220tg⁻¹(-6/-7)=40.601Z = 9.220(cos40.601°+sen40.601°i)
- Expresar la forma binómica de los siguientes complejos
- Z = 3 (cos 45° + sen 45° i) = Z = 2.12 + 2.12i
- Z = 7 (cos 60° + sen 60° i) = Z = 3.50 + 6.06i
# Actividad 10
- Escribir en términos de i y simplificar la respuesta
- √-32 = √16 * √2 * √-1 = 4i√2
- √-75 = √25 * √3 * √-1 = 5i√3
- √-80 = √40 * √5 * √-1 = 4i√5
- √-54 = √27 * √6 * √-1 = 3i√6
- √-8 = √4 * √2 * √-1 = 2i√2
- No dejar número negativos dentro de los rádicales, ni radicales en los denominadores
- √-48 / √-6 = √8 = 2√2
- √-8 * √2 = √-16 = 4i
- √-75 / √-3 = √25 = 5
- √-11 * √7 = √-77 = i√77
- √7 * √-5 = i√35
- √-70 / √10 = √-7 = i√7
- √10 * √-3 = i√30
- √-15 / √5 = √-3 = i√3
- √-2 * √-3 = √6
- √-180 / √10 = √-18 = 3i√2
- Suma y Resta
- (-3-3i) - (-6+5i)(-3-3i) + (+6-5i)(-3+6) + (-3-5)i3-8i
- (-5-4i) - (+2+4i)(-5-4i) + (-2-4i)(-5-2) + (-4-4)i-7-8i
- (-4+6i) - (-2+2i)(-4+6i) + (+2-2i)(-4+2) + (+6-2)i-2+4i
- (+5-5i) + (+6-3i)(+5+6) + (-5-3)i11-8i
- (+4-4i) + (-6-3i)(+4-6) + (-4-3)i-2-7i
- Multiplicación
- (-4-6i) * (+2+2i)-8-8i-12i-12i²-8-8i-12i+12+4-20i
- (+2-6i) * (+5-4i)+10-8i-30i+24i²+10-8i-30i-24-14-38i
- (+5-5i) * (+2+6i)+10+30i-10i-30i²+10+30i-10i+30+40+20i
- (+4-3i) * (+6+4i)+24+16i-18i-12i²+24+16i-18i+12+36-2i
- (-6+6i) * (-4+3i)+24-18i-24i+18i²+24-18i-24i-18+6-42i
- Dividir
- +1-6i-3-2i(+1-6i) * (-3+2i)(-3-2i) * (-3+2i)-3+2i+18i-12i²+9-6-3+20i-12i²+3-3+20i+12+3-5-1i+3
- +1-4i+3-4i(+1-4i) * (+3+4i)(+3-4i) * (+3+4i)+3+4i-12i-16i²+9+12+3-8i-16i²+21+3-8i+16+21-1+7i+21
- -2+3i+3+4i(-2+3i) * (+3-4i)(+3+4i) * (+3-4i)-6+8i+9i-12i²+9-12-6+17i-12i²-3-6+17i+12-3-14+2i-3
- +2+2i+3-4i(+2+2i) * (+3+4i)(+3-4i) * (+3+4i)+6+8i+6i+8i²+9+12+6+14i+8i²+21+6+14i-8+21-2+14i+21
- -3+3i+5-2i(-3+3i) * (+5+2i)(+5-2i) * (+5+2i)-15-6i+15i+6i²+25+10-15+9i+6i²+35-15+9i-6+35-9-21i+35
- Gráficar
- |Z| = √(+3-1i)|Z| = √(+9+1)|Z| = √(10) = 3.162Módulo de +3-1i=3.162tg⁻¹(3/-1)=-71.565Z = 3.162(cos-71.565°+sen-71.565°i)
- |Z| = √(-7+5i)|Z| = √(+49+25)|Z| = √(74) = 8.602Módulo de -7+5i=8.602tg⁻¹(-7/5)=-54.462Z = 8.602(cos-54.462°+sen-54.462°i)
- |Z| = √(+6-1i)|Z| = √(+36+1)|Z| = √(37) = 6.083Módulo de +6-1i=6.083tg⁻¹(6/-1)=-80.538Z = 6.083(cos-80.538°+sen-80.538°i)
- |Z| = √(-2+8i)|Z| = √(+4+64)|Z| = √(68) = 8.246Módulo de -2+8i=8.246tg⁻¹(-2/8)=-14.036Z = 8.246(cos-14.036°+sen-14.036°i)
- |Z| = √(+2-1i)|Z| = √(+4+1)|Z| = √(5) = 2.236Módulo de +2-1i=2.236tg⁻¹(2/-1)=-63.435Z = 2.236(cos-63.435°+sen-63.435°i)
- |Z| = √(-4+8i)|Z| = √(+16+64)|Z| = √(80) = 8.944Módulo de -4+8i=8.944tg⁻¹(-4/8)=-26.565Z = 8.944(cos-26.565°+sen-26.565°i)
- |Z| = √(-1+1i)|Z| = √(+1+1)|Z| = √(2) = 1.414Módulo de -1+1i=1.414tg⁻¹(-1/1)=-45.000Z = 1.414(cos-45.000°+sen-45.000°i)
- |Z| = √(+6-3i)|Z| = √(+36+9)|Z| = √(45) = 6.708Módulo de +6-3i=6.708tg⁻¹(6/-3)=-63.435Z = 6.708(cos-63.435°+sen-63.435°i)
- |Z| = √(-2+1i)|Z| = √(+4+1)|Z| = √(5) = 2.236Módulo de -2+1i=2.236tg⁻¹(-2/1)=-63.435Z = 2.236(cos-63.435°+sen-63.435°i)
- |Z| = √(+3-6i)|Z| = √(+9+36)|Z| = √(45) = 6.708Módulo de +3-6i=6.708tg⁻¹(3/-6)=-26.565Z = 6.708(cos-26.565°+sen-26.565°i)
# Actividad 11
- Todos son números reales. Simplificar la respuesta
v² = 36 v = ±6
v² = 16 v = ±4
w² = 49 w = ±7
x² = 36 x = ±6
y² = 25 y = ±5
- Simplificar el número complejo lo más que se pueda
- 1⁴⁵ = (i²)²² * (i) = (-1)²² * i = i
- 1²⁹ = (i²)¹⁴ * (i) = i
- 1⁵⁵ = (i²)²⁷ * (i) = (-1)²⁷ * i = -i
- 1⁴³ = (i²)²¹ * (i) = (-1)²¹ * i = -i
- 1⁴⁶ = (i²)²³ = -1
- Simplificar esto
- [x - (4 - 3i)] * [x - (4 - 3i)] = x² - 8x + 25
- [x - (6 - 2i)] * [x - (6 - 2i)] = x² - 12x + 40
- [x - (2 - 5i)] * [x - (2 - 5i)] = x² - 4x + 29
- [x - (4 - 5i)] * [x - (4 - 5i)] = x² - 8x + 41
- [x - (5 - 2i)] * [x - (5 - 2i)] = x² - 10x + 29
- Resolver para x
4x² - 24x = 0
=>
4x² (x - 6) = 0 4x = 0 | x - 6 = 0 x₁ = 0 | x₂ = 63x² + 21x = 0
=>
3x² (x + 7) = 0 3x = 0 | x + 7 = 0 x₁ = 0 | x₂ = -75x² + 10x = 0
=>
5x² (x + 2) = 0 5x = 0 | x + 2 = 0 x₁ = 0 | x₂ = -23x² - 18x = 0
=>
3x² (x - 6) = 0 3x = 0 | x - 6 = 0 x₁ = 0 | x₂ = 66x² - 24x = 0
=>
6x² (x - 4) = 0 6x = 0 | x - 4 = 0 x₁ = 0 | x₂ = 4
# Actividad 12
- Resolver para X
- (x + 6)² = 2x² + 22x +
- x² + 12x + 36 = 2² + 22x + 60
- x₁ = -6
- x₂ = -4
- (x - 5)² = 2x² - 6x + 28
- x² - 10x + 25 = 2x² - 6x + 28
- x₁ = -3
- x₂ = -1
- (x - 2)² = 2x² - 13x + 24
- x² - 4x + 4 = 2x² - 13x + 24
- x₁ = 4
- x₂ = 5
- (x - 3)² = 2x² - 16x + 30
- x² - 6x + 9 = 2x² - 16x + 30
- x₁ = 3
- x₂ = 7
- (x + 2)² = 2x² + 13x + 18
- x² + 4x + 4 = 2x² + 13x + 18
- x₁ = -7
- x₂ = -2
- (x + 2)² - 50 = 0
- (x + 2)² = 50
- x + 2 = ± √50
- x = - 2 ± √50
- x₁ = - 2 + √50
- x₂ = - 2 - √50
- (x + 6)² - 32 = 0
- (x + 6)² = 32
- x + 6 = ± √32
- x = - 6 ± √32
- x₁ = - 6 + √32
- x₂ = - 6 - √32
- (x - 10)² - 18 = 0
- (x - 10)² = 18
- x - 10 = ± √18
- x = 10 ± √18
- x₁ = 10 + √18
- x₂ = 10 - √18
- (x - 2)² - 80 = 0
- (x - 2)² = 80
- x - 2 = ± √80
- x = 2 ± √80
- x₁ = 2 + √80
- x₂ = 2 - √80
- (x + 10)² - 45 = 0
- (x + 10)² = 45
- x + 10 = ± √45
- x = - 10 ± √45
- x₁ = - 10 + √45
- x₂ = - 10 - √45
- ³√x = 2
- x = 2³
- x = 8
- ⁴√x = 3
- x = 3⁴
- x = 81
- ³√x = 3
- x = 3³
- x = 27
- ⁴√x = 2
- x = 2⁴
- x = 16
- Kira está corriendo en una carretera. Ella corre 11.2 millas a una velocidad de 7 millas por hora ¿Cuantás horas corre?
- Distancia = Velocidad * Tiempo
- Tiempo = Distancia / Velocidad = 11.2 millas / 7 millas por hora = 1.6 horas
- Deandra saliá a caminar. Él se tardó 3 horas en caminar 7.5 millas. ¿Cuál es su velocidad?
- Velocidad = Distancia * Tiempo = 3 horas * 7.5 millas = 1 hora * 2.5 millas = 2.5 millas por hora
- Una tortuga camina en el desierto. Camina 7.5 metros en 3 minutos. ¿Cuál es su velocidad?
- Velocidad = Distancia * Tiempo = 3 minutos * 7.5 metros = 1 hora * 150 metros = 150 metros por hora
- Una tortuga camina en el desierto. Camina 17.5 metros a una velocidad de 7 metros por minuto. ¿Cuantos minutos camina?
- 17.5 metros / 7 metros por minuto = 2.5 minutos
# Actividad 13
- El área de un rectángulo de 21 ft² y la longitud del rectángulo es 1 ft menos que el doble del ancho. Hallar las dimensiones del rectángulo
- 2x - 1
- x (2x - 1) = 21
- 2x² - x - 21 = 0
- x₁ = 3
- x₂ = 3.5
- El área de un rectángulo de 44 ft² y la longitud del rectángulo es 3 ft menos que el doble del ancho. Hallar las dimensiones del rectángulo
- 2x² - 3x = 44
- 2x² - 3x - 44 = 0
- (2x - 3) x = 2x² - 3x
- x₁ = 5.5
- x₂ = -4
- La longitud del rectángulo es 5 yd más que el doble del ancho, y el área es de 42 yd². Hallar las dimensiones del rectángulo
- 2x² + 5x = 42
- 2x² + 5x -42 = 0
- x₁ = 3.5
- x₂ = -6
- Lanzan una pelota de una altura inicial de 4 pies con una velocidad de 33 pies/segundo, la altura h (en pies) después de t segundos se obtiene con:
h = 4 + 3t - 16t²
. Hallar los valores de t para los cuales la altura h de la pelota es 20 pies
- h = 20
- h = 4 + 33t - 16t²
- t = 1.28
- -16t² + 33t + 6 = 0
- t₂ = 0.77
- Lanzan un cohete con una velocidad de 235 ft/segundo. La altura h (en pies) después de t seg se obtiene con:
h = 235t - 16t²
. Hallar los valores de t para h = 151 ft
- h = 235t - 16t²
- -16t² + 235 - 151 = 0
- x = √427 = 20.66
- Un edificio que mide 27 m proyecta una sombra. La distancia desde la cima del edificio a la punta de la sombra es 34 m. Hallar la longitud de la sombra
- x² + (27)² = 34²
- x = √427 = 20.66
- Un papalote que vuela en el aire tiene una línea que mide 11 ft. Su linea se tensa y proyecta una sombra de 8ft. Hallar la altura del papalote.
- h² + 8² = 11²
- Un papalote que vuela en el aire tiene una línea que mide 12 ft. Su linea se tensa y proyecta una sombra de 11ft. Hallar la altura del papalote.
- h² + 11² = 12²
- √(141 - 121)
- √23 = 4.79
- Convertir el enunciado en ecuación. La suma de 2 por un número y 6 es equvalente a 7
- 2 * (w - 2) = 7
- Convertir el enunciado en ecuación. El doble de la diferencia entre un número y 2 es equivalente a 7
- 2x + 6 = 7
# Actividad 14
- A continuación se muestran los diagramas de dispersión de 4 conjuntos de datos. Contestar las siguientes preguntas
a) Seleccionar el conjunto de datos que tiene un valor atípico
- Figura 1
b) Seleccionar los 2 conjuntos que muestran agrupamiento
- Figura 2
- Figura 4
- El diagrama de Venn muestra las membrecias del club de Voleibol y del club de tenis. Utilizar el diagrama para contestar las preguntas a continuación
- a) ¿Cuantas preguntas juegan tenis? 6
- b) ¿Cuantas personas juegan Voleibol y tenis? 2
- c) ¿Cuantas personas juegan Voleibol pero no tenis? 3
- Si la altura de vista de una persona es h metros sobre el nivel del mar, este puede ver hasta d kilómetros en el horizonte, donde d = 3.6√h. Supongamos que una persona puede ver hasta d = 18.9 kilómetros en el horizonte. ¿Cuál es la altura h sobre el nivel del mar de su vista?
18.9 = 3.6√h
- √h = 18.9/3.6
=>
(√h)² = (18.9/3.6)² = 27.56
- Resolver para v
- (4v + 3) * (2v + 1) = 0
- v¹ = -3/4
- v₂ = -1/2