Notas

# Algebra

  • Profesor: Jesús Arriaga Garza

Temas para el primer parcial

  • Introducción a los números reales
  • Propiedades de los números reales
  • Propiedades de campo
  • Potencias, logaritmos y funciones exponenciales. Aplicaciones

Evaluación

  • Actividades (8 => 1 por clase) 20%
  • Tareas (laboratorios: 8 o menos) 20%
  • Examen 60%

# Plataforma ALEKS LATAM

  • Curso: 18 semanas
  • Código de clase: X3NGW_GGRNQ
  • Código de descuento: HE_UVM18W
  • Naturales: 1, 2, 3, 4... => Reales
  • Operaciones: Suma y multiplicación

# Axiomas de campo

  1. Cerradura para la suma y la multiplicación: Suma y multiplicación se satisfacen.
  2. Conmutatividad (+, ): Se satisface para la suma a+b=b+a y la multiplicación ab=b*a
  3. Asociatividad (+, *): el orden de los factores no altera el producto.

Construcción del conjunto de los números Reales (R) a partir del conjunto de los Naturales (N)

  • Naturales = N = {1, 2, 3, 4, 5…}

Se somete N (los Naturales) a 6 axiomas de campo, bajo las operaciones de suma y multiplicación.

  1. Axioma de Cerradura (+, *). Si a y b están en N:
  • a + b también estará en N: 3 + 4 = 7
  • a * b también estará en N: 3 * 4 = 12
  1. Axioma de conmutabilidad (+, *). Si a y b están en N: (se puede cambiar el orden)
  • a + b = b + a: 3 + 4 = 4 + 3
  • a * b = b * a: 3 * 4 = 4 * 3
  1. Axioma de asociatividad (+, *). Si a, b y c están en N:
  • a + (b + c) = (a + b) + c
  • 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5
  • 3 + 9 = 7 + 5
  • 12 = 12
  • a * (b * c) = (a * b) * c
  • 3 * (4 * 5) = (3 * 4) * 5
  • 3 * 20 = 12 * 5
  • 60 = 60
  1. Axioma de distributivilidad de la multiplicación respecto a la suma. Si a, b y c están en N:
  • a * (b + c) = a * b + a * c
  • 3 * (4 + 5) = 3 * 4 + 3 * 5
  • 3 * 9 = 12 + 15
  • 27 = 27
  1. Axioma de los elementos neutros o identidad (+, *):
  • a + 0 = a
  • “conjunto N” U {0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}
  • a * 1 = a
  • El “0” y el “1” son los elementos neutros o de identidad para la suma y la multiplicación respectivamente.
  1. Axioma de los elementos inversos (+, *)
  • Suma: a + (-a) = 0
  • Si a son los enteros positivos E+ y -a son los enteros negativos E-
  • Entonces: N U {0} U E-
  • Entonces: E+ U {0} U E-
  • Multiplicación: a * (1/a) = 1
  • 3 * (1/3) = 1
  • Se necesitan las fracciones de la forma {p/q} (todas las fracciones)
  • Entonces: E+ U E- U {0} U {p/q}
  • A los números que se pueden expresar como el cociente de 2 enteros se llaman RACIONALES: E + U E- U {0} U {p/q}

Los números IRRACIONALES no se pueden expresar como el cociente de 2 enteros. Por ejemplo: π o e, y sus factores -2π, -8π, 2e…

  • Los números Reales son: E + U E- U {0} U {p/q} U I (Irracionales)
  • REALES = RACIONALES + IRRACIONALES

# Actividad 2

Hay que expresar que axioma se aplica en cada ejercicio:

  1. Cerradura para la suma: 3 + 6 = 9
  2. Cerradura para la suma: 5 + 14 = 19
  3. Conmutabilidad para la suma: 6 + 7 = 7 + 6
  4. Conmutabilidad para la suma: 5 + 8 = 8 + 5
  5. Cerradura para la multiplicación: 3 * 8 = 24
  6. Cerradura para la multiplicación: 6 * 1 = 6
  7. Conmutabilidad para la multiplicación: 9 * 2 = 2 * 9
  8. Conmutabilidad para la multiplicación: 10 * 3 = 3 * 10
  9. Asociatividad para la suma: 2 + (3 + 6) = (2 + 3) + 6
  10. Conmutabilidad para la suma: 5 + (2 + 1) = (5 + 2) + 1
  11. Asociatividad para la multiplicación: 2 * (3 * 6) = (2 * 3) * 6
  12. Asociatividad para la multiplicación: 5 * (2 * 1) = (5 * 2) * 1
  13. Distributivilidad de la multiplicación respecto a la suma: 6 * (4 + 5) = 6 * 4 + 6 * 5
  14. Cerradura para la suma: 6 + 0 = 6
  15. Cerradura para la multiplicación: 7 * 1 = 7
  16. Elementos neutros o identidad para la suma: 4 + (-4) = 0
  17. Elementos inversos para la multiplicación: 6 * (1/6) = 1

# Regla de signos para la multiplicación y la división

# Multiplicación

  • (+) * (+) = +
  • (+) * (-) = -
  • (-) * (+) = -
  • (-) * (-) = +

# División

  • (+) / (+) = +
  • (+) / (-) = -
  • (-) / (+) = -
  • (-) / (-) = +

# Actividad 3

Efectuar las siguientes multiplicaciones.

  1. (+3) * (+4) = +12
  2. (-5) * (-3) = +15
  3. (+4) * (-5) = -20
  4. (-3) * (6) = -18
  5. (-6) * (5) = -30
  6. (1) * (-6) = -6
  7. (-3) * (-3) = +9
  8. (+3) * (-12) = -32
  9. (+4) * (+8) = +32
  10. (-4) * (-8) = +32
  11. (-5) * (-12) = +60
  12. (-8) * (-1) = +8
  13. (+7) * (-9) = -63
  14. (+5) * (-8) = -40
  15. (-8) * (-3) = +24
  16. (-9) * (+3) = -27
  17. (-7) * (+7) = -49
  18. (-6) * (-8) = +48
  19. (-4) * (-2) * (-4) = -32
  20. (+3) * (-2) * (+5) = -30
  21. (-2) * (-3) * (-4) = -24
  22. (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = 16
  23. (-3) * (+2) * (-2) * (+1) * (-1) * (+5) = -60
  24. (-2) * (-2) * (+4) * (-5) * (+1) * (-1) = 80
  25. (-7) * (+7) * (+15) * (-3) * (-6) = -13230

Efectuar las siguientes divisiones:

  1. 15 / 3 = 5
  2. -15 / -3 = 5
  3. -15 / 3 = -5
  4. 15 / -3 = -5
  5. 12 / -6 = -2
  6. -6 / -6 = 1
  7. -8 / 1 = -8
  8. 6 / 3 = 2
  9. -24 / 8 = -3
  10. -12 / 3 = -4
  11. 10 / -2 = -5
  12. -20 / 5 = -4
  13. -18 / -3 = 6
  14. 18 / -3 = -6
  15. 18 / 3 = 6
  16. -6 / -3 = 2
  17. 4 / -4 = -1
  18. 12 / -6 = -2
  19. -5 / 1 = -5
  20. -12 / 3 = -4
  21. -24 / 6 = -24
  22. 24 / -8 = -3
  23. -9 / -9 = 1
  24. 14 / 1 = 14
  25. -28 / 14 = -2

# Actividad 4

Operaciones combinadas:

  1. (-7 + (-4)) / (-9 * 8) = 0.152 = 11 / -72
  2. ((-3) * (-4)) / -6 = -2
  3. ((-3 * 5) – (-2*4)) / (-8 * 7) = 0.125 = -7 / -56
  4. ((3 * 1) – (-2 * 5)) / (-3 * 2) = -2.166 = 13 / -6
  5. (-4 * -2 * -3) / (-5 * -10) = -0.48 = -24 / 50

# Fracciones

  • Fracciones con igual denominador
  • Fracciones con diferente denominador

# Actividad 5

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# Escribir en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales

  1. A + B
  2. A – B
  3. A * B
  4. X * Y * Z – 5
  5. 3X
  6. (X/Y) * (X/Y)
  7. X/Y
  8. (X + Y) / Z
  9. (X - Y) / Z
  10. (X+Y) / (X-Y)
  11. X² + 13
  12. X³ – 6
  13. 3X²
  14. 2X³
  15. √(X*Y)
  16. (X + Y)²
  17. X² + Y²
  18. (X - Y)²
  19. X² - Y²
  20. (X + Y)³
  21. X³ + Y³
  22. (X - Y)³
  23. X³ - Y³
  24. X² /2
  25. (X/2)²
  26. X³ /3
  27. (X/3)³
  28. P = A + B +C
  29. d = v * t
  30. A = b * h
  31. A = (a + b) * h
  32. X + 3 = 8
  33. X – 5 = 13
  34. X + 4 = 10 – X
  35. 3X = 2Y

# Actividad 6

# Escribir en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas

  1. El doble de un número más otro número
  2. El producto de 3 números
  3. El producto de 2 números mas la suma de esos mismos números
  4. Un numero menos la diferencia de 2 números
  5. La suma de 2 números menos la diferencia de esos mismos números
  6. La suma de 2 números entre 10
  7. La suma de 2 números menos la diferencia de esos números entre el producto de esos números
  8. El triple del cuadrado de un numero
  9. El cuadrado de la suma de 2 números entre 2
  10. La suma de 2 números al cuadrado dividido entre 2
  11. La diferencia de los cuadrados de 2 números
  12. El perímetro es igual al triple de un lado de un triángulo equilátero
  13. El tiempo es igual a la distancia entre la velocidad
  14. El perímetro es igual al doble de la suma de 2 de los lados de un rectángulo
  15. El área es igual al cuadrado de un lado de un cuadrado

# Leyes de los exponentes

  • Elementos de un término algebraico +3x⁴ (Signo / Coeficiente o factor numérico (veces que la literal se expresa como sumando) / Base o factor literal / Exponente)

# 1ra Ley de Exponentes

  • x^m * x^n = x^(m+n)
  • x² * x⁵ = x^(2+5) = x⁷

# 2da Ley de Exponentes

  • x^m / x^n = x^(m-n)
  • x⁷ / x³ = x^(7-3) = x⁴

# 3ra Ley de Exponentes

  • x⁰ = 1

# 4ta Ley de Exponentes

  • (x * y)^m = x^m * y^m

# 5ta Ley de Exponentes

  • (x^m)^n = x^(m*n)
  • (3x²)³ = 3³ * x⁶

# 6ta Ley de Exponentes

  • x^+m = 1 / x^-m
  • x^-m = 1 / x^+m
  • x^-5 = 1 / 3^+5

# Actividad 6

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  1. x ^ 8
  2. 5 ^ 5
  3. 2 ^ 7
  4. x ^ (m + n)
  5. x ^ (2n + 1)
  6. 3³
  7. x⁵
  8. x⁵
  9. x ^ (m + n - r)
  10. /
  11. x⁶
  12. 10 ^ -10
  13. 10 ^ -6
  14. 5 ^ -1
  15. -x²⁰
  16. -x²⁰
  17. 10 ^ (3 / 2)
  18. x ^ (m * n)
  19. x ^ 6
  20. 81 ^ 3/2
  21. 9 (x ^ 2)
  22. (4 ^ n) (x ^ n) (y ^ n)
  23. 15 ^ 3 = 3375‬
  24. (16xy⁶) ^ (1/2)
  25. (x⁴) (y⁶)
  26. 125 (x ^ 6)
  27. 81 x ^ 6 y ^ 7
  28. x ^ 2 / y ^ -6
  29. 0
  30. 0
  31. (x ^ n) (y ^ n)
  32. 125 * 1000⁵
  33. x ^ h / y ^ h
  34. 9 / 16
  35. 4x / 9y
  36. x ^ 2n / y ^ 3n
  37. 25 / 9
  38. 4 / 25
  39. x ^ 2 / y⁴
  40. 0
  41. x ^ m / x ^ n
  42. x³ / x²
  43. 7⁵ / 7²
  44. 10 ^ (3 / 2)
  45. x ^ (m * n)
  46. x⁶
  47. 81 ^ 3/2
  48. 9 (x ^ 2)
  49. 3³
  50. 34x⁵
  51. 8x⁵
  52. y * 3x ^ (m + n)
  53. 1
  54. 4y
  55. 5
  56. 7
  57. 2
  58. 0
  59. 0
  60. 0
  61. -6
  62. -5
  63. 4x⁴
  64. 4x⁴

# Actividad 8

  1. 5 > 3
  2. 4 > -1
  3. -5 > -7
  4. -9 > -100
  5. 4 > 3
  6. 4 > 0
  7. 4 > -4
  8. -9 < -8
  9. -20 > -21
  10. -10 = -10
  11. 7 = 7
  12. 9 > -9
  13. -100 < -99
  14. -1000 < -999

# Evaluar una expresión

Expresión Valores Sustitución Resultado
3a - b a = -5, b = -3 3 * -5 - (-3) 12
7x - 3y + 4 x = -1, y = -3 7 * -1 - 3 * -3 + 4 6
10w - 4x - 5y w = -2, x = 0, y = -10 10 * -2 - 4 * 0 - 5 * -10 30
7 - 3a - 4b a = -6, b = -3 7 - 3 * -6 - 4 * -3 37
10 - 3x - 3y - 4w x = 1, y = -5, w = -2 10 - 3 * 1 - 3 * -5 - 4 * -2 30

# Aplicar el axioma de distributibilidad

  • 4 * (6x - 8y - 3z - 1) = 24x - 32y - 12z - 4
  • 7 * (3a + 6b - 8c + 2) = 21a + 42b - 56c + 14
  • 3x * (2x² - 3x - 1) = 3x² - 6x² -3x
  • 4w * (-6w³ + 8w² - 3w - 5) = - 16x⁴ + 32w³ - 12w² - 2a
  • 6x² * (-2x² -2x -3) = 12z² -24z³ -16z

# Suma y resta de fracciones

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  1. 9 / 5
  2. 10 / 2
  3. 1 / 5
  4. 2 / 5
  5. 1 / 4
  6. 1 / 6
  7. 8 / 24
  8. 7 / 20
  9. 3 / 6
  10. 4 + 3 / 4

# Notación decimal y notación potencia base 10

  • 1 000 = 1 * 10 ^ 3
  • 30 000 = 3 * 10 ^ 4
  • 0.000 007 = 7 * 10 ^ -6
  • 0.4 * 10 ^ 8 = 40 000 000
  • 5 * 10 ^ -5 = 0.000 04
  • 7.12 * 10 ^ -6 = 0.000 007 12

# Actividad 9

  • 1 000 000 000 000 = 1 * 10¹²
  • 1 000 000 000 = 1 * 10⁹
  • 1 000 000 = 1 * 10⁶
  • 1 000 = 1 * 10³
  • 100 = 1 * 10²
  • 10 = 1 * 10¹
  • 1 = 1 * 10⁰
  • 0.1 = 1 * 10 ^ -1
  • 0.01 = 1 * 10 ^ -2
  • 0.001 = 1 * 10 ^ -3
  • 0.000 1 = 1 * 10 ^ -4
  • 0.000 01 = 1 * 10 ^ -5
  • 0.000 000 001 = 1 * 10 ^ -9
  • 0.000 000 000 001 = 1 * 10 ^ -12
  • 5 = 5 * 10⁰
  • 250 = 25 * 10¹
  • 7580 = 758 * 10¹
  • 3 500 000 = 3.5 * 10⁶
  • 0.2 = 2 * 10 ^ -1
  • 0.07 = 7 * 10 ^ -2
  • 0.000 48 = 4.8 * 10 ^ -5
  • 0.000 000 327 = 3.27 * 10 ^ -9
  • 0.000 07 * 4 300 000 000 = 301 000 = 3.01 * 10⁵

# Actividad 10

Multiplicación y división de fracciones. √

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  1. 6 / 15 = 2 / 5
  2. 10 / 15
  3. -7 / -15
  4. -50 / -12 = -25 / -6
  5. -2 / -21
  6. -35 / -16
  7. 2 / 15
  8. 35 / 24
  9. 3 / 5
  10. 8 / 9
  11. 30 / 2 = 15 / 1
  12. -63 / -40
  13. -36 / -10
  14. -99 / -8
  15. -80 / -117
  16. 49 / 40
  17. log 54 = 1.73239375982
  18. log 235 = 2.37106786227
  19. log 75 = 1.87506126339
  20. log 1250 = 3.09691001301
  21. log 815 = 2.91009054559
  22. log 900 = 2.91009054559
  23. log √0 = 2.95424250944
  24. log √7 = 0.42254902
  25. log √5 = 0.34948500216
  26. log √0.07 = -0.57745097999
  27. log √0.0019 = -1.36062319952
  28. log √0.00005 = -2.15051499783
  29. ln 54 = 3.98898404656
  30. ln 235 = 5.45958551414
  31. ln 75 = 4.31748811354
  32. ln 1250 = 7.1308988303
  33. ln 900 = 6.80239476332
  34. ln 0.07 = -2.65926003693
  35. ln 0.0019 = 0
  36. ln 0.0005 = -7.60090245954

# Actividad 11

Considerar las siguientes propiedades de los números reales:

  1. Propiedad conmutativa de la suma (no importa el orden)
  2. Propiedad asociativa de la suma (no importan los parentesis)
  3. Propiedad de identidad para la suma (sumar 0 a cualquier número da como resultado el mismo número)
  4. Propiedad inversa para la suma (un número sumado por su opuesto da 0)
  5. Propiedad distributiva (la multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos)
  6. Propiedad conmutativa para la multiplicación (no importa el orden)
  7. Propiedad asociativa para la multiplicación (no importan los parentesis)
  8. Propiedad de identidad para la multiplicación (multiplicar 1 a cualquier número da como resultado el mismo número)
  9. Propiedad inversa para la multiplicación (un número multiplicado por su opuesto da 0)
  10. Propiedad multiplicativa del 0 (el producto de cualquier número Real x y 0 es siempre igual a 0)

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  1. Propiedad conmutativa de la suma
  2. Propiedad multiplicativa del 0
  3. Propiedad asociativa para la multiplicación
  4. Propiedad de inversa para la multiplicación
  5. Propiedad de identidad para la suma
  6. Propiedad de inversa para la multiplicación
  7. Propiedad conmutativa para la multiplicación
  8. Propiedad asociativa para la multiplicación
  9. Propiedad de inversa para la multiplicación
  10. Propiedad de multiplicativa del 0
  11. Propiedad asociativa para la multiplicación
  12. Propiedad conmutativa de la suma
  13. Propiedad multiplicativa del 0
  14. Propiedad de inversa para la multiplicación
  15. Propiedad conmutativa de la suma
  16. Propiedad asociativa para la multiplicación
  17. Propiedad conmutativa para la multiplicación
  18. Propiedad asociativa para la suma
  19. Propiedad multiplicativa del 0
  20. Propiedad de identidad para la multiplicación

# Evaluar

  1. (-8)² = 64
  2. (-4)³ = -64
  3. (-5)³ = -125
  4. (-8)⁴ = 4096
  5. (-9)² = 81
  6. (-4)³ = -64
  7. (-5)⁴ = 625
  8. (-8)³ = -512
  9. (-7)³ = -343
  10. (-9)⁵ = -59049

# Actividad 12

# Responder a lo siguiente

  1. Cierta solución tiene una concentración de iones de hidrógeno de 0.000 006 53 moles por litro. Escribir este número en notación científica (Potencias base 10): 6.53*10^-6

  2. Una ballena de aleta puede pesar hasta 2.6*10^5 libras, escriba este número en notación estandar (Decimal): 260 000

  3. Un telescopio infrarrojo de un astrónomo puede detectar radiación de un rango de onda de 8.35*10^-5 metros. Escriba este número en notación estandar: 0.000 083 5

  4. El diametro de plutón en el ecuador es aproximadamente de 2 390 km. Escribir este número en notación científica: 2.39*10^3

  5. Cierta solución tiene una concentración de iones de 0.000 165 moles por litro. Escribir este número en notación científica: 1.65*10^-4

  6. Un objeto puede pesar hasta 2.6*10^-5 libras. Escribir este número en notación decimal: 0.000 026

  7. Una solución tiene una concentración de 3.54*10^-6 moles por litro. Escribir el número en notación estandar: 0.000 003 54

  8. Una ballena jorobada puede pesar hasta 110 000 libras. Escribir el número en notación científica: 1.1*10^5

# Aplicar las leyes de los exponentes

  1. x³ * x⁵ = x⁸
  2. 5³ * 5² = 3125
  3. 2⁴ * 2³ = 128
  4. 3^-2 * 3^-1 = 0.03703703703 = 3.7*10²
  5. 7⁵ * 7^-3 = 49
  6. 8^-2 * 8^-5 = 4.76837*10^-7
  7. 16⁰ = 0
  8. (√25)⁰ = 0
  9. (6 * 4)^-2 = 0.00173611111 = 1.73*10³
  10. (10^-2)^3 = 0.000001 = 1*10^-6
  11. (x^5)^4 = x^20
  12. (x^-2)^-3 = x⁶
  13. (4^2*7)⁰ = 0
  14. (510^2)⁵ = 125 000 000 = 1.2510⁸
  15. 7⁵ / 7² = 343
  16. 10² / 10^-6 = 100 000 000 = 1*10⁸
  17. 2⁴ / 2³ = 2
  18. 15² / 15^-2 = 50625

# Números racionales e irracionales

  • Racionales: Se pueden expresar como el cociente de 2 enteros y su representación decimal es exacta o tiene periodicidad.

    • 3.72: Exacta
    • 4.833333333333333333333333333333: Periódica
    • 7.251251251251251251251251251251: Periódica

  • Irracionales: No se pueden expresar como el cociente de 2 enteros y su representación decimal no es exacta, ni presenta periodicidad.

    • √2, √3, π, 3π, √7, √9, √13
    • 2.398269732034623976473290564387
    • Y todos los posibles múltiplos o submúltiplos de ellos

# Actividad 13

Número Racional Irracional
2√6 ✘ ✔
-8.2828... ✔ ✘
24.24 ✔ ✘
-15π ✘ ✔
-(17/2) ✔ ✘
-9π ✘ ✔
-42.7575... ✔ ✘
-√13 ✘ ✔
√25 ✔ ✘
-16π ✘ ✔
-88.28 ✔ ✘
-2√3 ✘ ✔
-√9 ✔ ✘
-52.4646... ✔ ✘
-22.8080... ✔ ✘
4π ✘ ✔
-√16 ✔ ✘
-√2 ✘ ✔
-42.76 ✔ ✘
20π ✘ ✔
-52.46 ✔ ✘
-3√2 ✘ ✔
-43.8181... ✔ ✘
√36 ✔ ✘
52.6363... ✔ ✘
12π ✘ ✔
-22.81 ✔ ✘
2√3 ✘ ✔
12/11 ✔ ✘
-7.3131... ✔ ✘
-3π ✘ ✔
√19 ✘ ✔
63.5757... ✔ ✘

# Expresiones exponenciales logarítmicas

Logaritmo de un número es igual al exponente del cual hay que elevar una base para obtener dicho número

  • Forma exponencial: a ^ m = b
  • Forma logarítmica: logₐ = m

# Actividad 14

Pasar a representación logarítmica

  1. 2³ = 8 -> log₂ 8 = 3
  2. 3² = 9 -> log₃ 9 = 2
  3. 4² = 16 -> log₄ 16 = 2
  4. 7² = 49 -> log₇ 49 = 2
  5. 10² = 100 -> log₁₀ 100 = 2
  6. 6² = 36 -> log₆ 36 = 2
  7. 8² = 64 -> log₈ 64 = 2
  8. 2⁴ = 16 -> log₂ 16 = 4
  9. 3³ = 27 -> log₃ 27 = 3
  10. 10³ = 1000 -> log₁₀ 1000 = 3

# Propiedades de los logarítmos

  • logₐ (x*y) = logₐ x + logₐ y
  • logₐ (x/y) = logₐ x - logₐ y
  • logₐ xⁿ = n logₐ x

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# Utilizar las propiedades de los logaritmos para evaluar cada expresión

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  1. log₂ 36 - 2 log₂ 3 = log₂ (36/9) = log₂ 4 = 2
  2. logₑ e⁻⁸ - logₑ e³ = logₑ e⁻⁸⁺³ = logₑ e⁻⁵ = -5
  3. log₆ 9 + 2 log₆ 2 = log₆ (9*4) = log₆ 36 = 2
  4. logₑ e⁸ - logₑ e² = logₑ (e⁸/e²) = logₑ e⁶ = 6
  5. 2 log₁₂ 2 + log₁₂ 3 = log₁₂ (2² * 3¹) = log₁₂ 12 = 1
  6. logₑ e² - logₑ e¹¹ = logₑ (e²/e¹¹) = logₑ e⁻⁹ = -9
  7. log₃ 72 - 3 log₃ 2 = log₃ (72/8) = log₃ 9 = 2
  8. logₑ e⁶ + logₑ e⁻¹² = logₑ e⁶⁻¹² = log e⁻⁶ = -6

# Funciones cuadráticas

  • y = f(x) = Ax² + Bx + C

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En los puntos de corte con el eje x, la y vale 0: (X₁, 0), (X₂, 0)

  • Ecuación cuadrática general: Ax² + Bx + C = 0 La solución arroja los valores de x₁ y x₂

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Ejemplo

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  1. 1x²+7x+12 = 0
    -(7) ± √(7² - (4 * 1 * 12))
    2 * 1
    -7 ± 1
    2
    x₁ = -3
    x₂ = -4
  2. 1x²-3x-10 = 0
    -(-3) ± √(-3² - (4 * 1 * -10))
    2 * 1
    3 ± 7
    2
    x₁ = 5
    x₂ = -2
  3. 1x²+10x+9 = 0
    -(10) ± √(10² - (4 * 1 * 9))
    2 * 1
    -10 ± 8
    2
    x₁ = -1
    x₂ = -9

# Actividad 3

Aplicar la formula general para obtener las raíces o soluciones de ecuaciones cuadráticas

  1. 2x²-6x-8 = 0
    -(-6) ± √(-6² - (4 * 2 * -8))
    2 * 2
    6 ± 10
    4
    x₁ = 4
    x₂ = -1
  2. 2x²-4x-30 = 0
    -(-4) ± √(-4² - (4 * 2 * -30))
    2 * 2
    4 ± 16
    4
    x₁ = 5
    x₂ = -3
  3. 2x²-3x+1 = 0
    -(-3) ± √(-3² - (4 * 2 * 1))
    2 * 2
    3 ± 1
    4
    x₁ = 1
    x₂ = 0.5
  4. 3x²+10x-5 = 0
    -(10) ± √(10² - (4 * 3 * -5))
    2 * 3
    -10 ± 12.649110640673518
    6
    x₁ = 0.441518440112253
    x₂ = -3.7748517734455866
  5. 5x²-3x-36 = 0
    -(-3) ± √(-3² - (4 * 5 * -36))
    2 * 5
    3 ± 27
    10
    x₁ = 3
    x₂ = -2.4
  6. 4x²+7x+3 = 0
    -(7) ± √(7² - (4 * 4 * 3))
    2 * 4
    -7 ± 1
    8
    x₁ = -0.75
    x₂ = -1
  7. 6x²-3x-18 = 0
    -(-3) ± √(-3² - (4 * 6 * -18))
    2 * 6
    3 ± 21
    12
    x₁ = 2
    x₂ = -1.5
  8. 7x²-9x+2 = 0
    -(-9) ± √(-9² - (4 * 7 * 2))
    2 * 7
    9 ± 5
    14
    x₁ = 1
    x₂ = 0.2857142857142857

# Actividad 4

  1. Si a un número se le agrega su cuadrado se obtiene 90. Hallar el número
    1x²+1x-90 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * -90))
    2 * 1
    -1 ± 19
    2
    x₁ = 9
    x₂ = -10
  2. Hallar el número cuyo cuadrado disminuido en el doble del número da 15
    1x²-2x-15 = 0
    -(-2) ± √(-2² - (4 * 1 * -15))
    2 * 1
    2 ± 8
    2
    x₁ = 5
    x₂ = -3
  3. Encontrar el número cuyo duplo de su cuadrado disminuido en el número es igual a 45
    2x²-1x-45 = 0
    -(-1) ± √(-1² - (4 * 2 * -45))
    2 * 2
    1 ± 19
    4
    x₁ = 5
    x₂ = -4.5
  4. Hallar 2 números que sumados den 12 y multiplicados den 35
    1x²-12x+35 = 0
    -(-12) ± √(-12² - (4 * 1 * 35))
    2 * 1
    12 ± 2
    2
    x₁ = 7
    x₂ = 5
  5. La suma de 2 números es 14 y la suma de sus cuadrados es 106. ¿Cuáles son esos números?
    2x²-28x+90 = 0
    -(-28) ± √(-28² - (4 * 2 * 90))
    2 * 2
    28 ± 8
    4
    x₁ = 9
    x₂ = 5
  6. La suma de los cuadrados de 3 números naturales consecutivos es 110- ¿Cuáles números son?
    5x²+6x+7 = 0
    -(6) ± √(6² - (4 * 5 * 7))
    2 * 5
    -6 ± -4
    10
    x₁ = -1
    x₂ = -0.2
  7. El producto de 2 números enteros consecutivos es 600. Hallar los números.
    1x²+1x-600 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * -600))
    2 * 1
    -1 ± 49
    2
    x₁ = 24
    x₂ = -25
  8. Encontrar el número cuyo quintuple aumentado en 500 es igual a su cuadrado
    1x²-5x-500 = 0
    -(-5) ± √(-5² - (4 * 1 * -500))
    2 * 1
    5 ± 45
    2
    x₁ = 25
    x₂ = -20
  9. Hallar 2 números pares consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 116
    1x²+28x+30 = 0
    -(28) ± √(28² - (4 * 1 * 30))
    2 * 1
    -28 ± 25.768197453450252
    2
    x₁ = -1.1159012732748739
    x₂ = -26.884098726725128
  10. Hallar un número tal que la mitad de su cuadrado disminuida en 8 dé 120
    1x²-8x-20 = 0
    -(-8) ± √(-8² - (4 * 1 * -20))
    2 * 1
    8 ± 12
    2
    x₁ = 10
    x₂ = -2
  11. El perímetro de un rectángulo es de 140 m y el área es de 1200 m². Hallar sus dimensiones
    1x²+1x+1 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
    2 * 1
    -1 ± -4
    2
    x₁ = -2.5
    x₂ = 1.5
  12. Un lado del rectángulo excede al ancho en 10 m y el área es de 2000 m². Hallar sus dimensiones
    1x²+1x+1 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
    2 * 1
    -1 ± -4
    2
    x₁ = -2.5
    x₂ = 1.5
  13. Si al largo de un rectángulo se le restan 3 m se obtiene un cuadrado de 225 m² de área. Hallar las dimensiones y el área del rectángulo
    1x²+1x+1 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
    2 * 1
    -1 ± -4
    2
    x₁ = -2.5
    x₂ = 1.5
  14. La base de un rectángulo es el doble de su altura y el área es de 228 m². Calcular sus dimensiones
    1x²+1x+1 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
    2 * 1
    -1 ± -4
    2
    x₁ = -2.5
    x₂ = 1.5
  15. En un triangulo rectángulo el cateto mayor excede en 2 cm al menor y la hipotenusa supera en 2 cm al cateto mayor. Calcular la medida de cada lado
    1x²+1x+1 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
    2 * 1
    -1 ± -4
    2
    x₁ = -2.5
    x₂ = 1.5
  16. Calcular el lado de un cuadrado cuya área disminuida en el producto del lado por 5 es igual a 126 m²
    1x²+1x+1 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
    2 * 1
    -1 ± -4
    2
    x₁ = -2.5
    x₂ = 1.5
  17. La banqueta que rodea a un jardín rectángular es de 3 m de ancho. El jardín tiene 10 m más de largo que de ancho. Si el área del jardín es de 1496 m², ¿cúal es la longitud del lado exterior de la banqueta?
    1x²+1x+1 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
    2 * 1
    -1 ± -4
    2
    x₁ = -2.5
    x₂ = 1.5
  18. Hallar el lado de un cuadrado; si si área se aumenta en el producto de dicho lado por 5 se hace igual a 500 m²
    1x²+1x+1 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
    2 * 1
    -1 ± -4
    2
    x₁ = -2.5
    x₂ = 1.5
  19. En el octágono regular el apotema excede en 2 cm al lado del polígono. Si el área es de 320 cm², hallar las medidas del lado y de el apotema.
    1x²+1x+1 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
    2 * 1
    -1 ± -4
    2
    x₁ = -2.5
    x₂ = 1.5
  20. El área de un trapecio es de 84 cm². La base mayor es el doble de la menor y la altura excede en 1 cm a la base menor. Determine la medida de cada una de ellas
    1x²+1x+1 = 0
    -(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
    2 * 1
    -1 ± -4
    2
    x₁ = -2.5
    x₂ = 1.5

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# Suma de complejos

  • (A + Bi) + (C + Di) = (A + C) + (B + D)i
  1. (+3+5i) + (+7+5i)
    (+3+7) + (+5+5)i
    10+10i
  2. (+10+2i) + (+20+8i)
    (+10+20) + (+2+8)i
    30+10i
  3. (-2+3i) + (-20+5i)
    (-2-20) + (+3+5)i
    -22+8i
  4. (-8-7i) + (-7-3i)
    (-8-7) + (-7-3)i
    -15-10i
  5. (+9-12i) + (-9+8i)
    (+9-9) + (-12+8)i
    0-4i

# Multiplicación de complejos

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  1. (+3+5i) * (+7+5i)
    +21+15i+35i+25i²
    +21+15i+35i-25
    -4+50i
  2. (+2+7i) * (-3-6i)
    -6-12i-21i-42i²
    -6-12i-21i+42
    +36-33i
  3. (-5-4i) * (-7+3i)
    +35-15i+28i-12i²
    +35-15i+28i+12
    +47+13i
  4. (-10+20i) * (+7-3i)
    -70+30i+140i-60i²
    -70+30i+140i+60
    -10+170i
  5. (-8+4i) * (-1-3i)
    +8+24i-4i-12i²
    +8+24i-4i+12
    +20+20i
  6. (+10-3i) * (-2+8i)
    -20+80i+6i-24i²
    -20+80i+6i+24
    +4+86i

# Complejos conjugados

Si +3+5i es un complejo, su complejo conjugado será +3-5i, se cambia el signo de la parte imaginaria

# Actividad 5

  1. (+6+5i) * (+6-5i)
    +36-25i²
    +36+25
    +61
  2. (+10+7i) * (+10-7i)
    +100-49i²
    +100+49
    +149
  3. (-4+2i) * (-4-2i)
    +16-4i²
    +16+4
    +20
  4. (-8+13i) * (-8-13i)
    +64-169i²
    +64+169
    +233
  5. (-9-8i) * (-9+8i)
    +81-64i²
    +81+64
    +145
  6. (-12-4i) * (-12+4i)
    +144-16i²
    +144+16
    +160
  7. (+15-8i) * (+15+8i)
    +225-64i²
    +225+64
    +289
  8. (+20-15i) * (+20+15i)
    +400-225i²
    +400+225
    +625

# División de complejos

  1. +3-5i
    -4+3i
    (+3-5i) * (-4-3i)
    (-4+3i) * (-4-3i)
    -12-9i+20i+15i²
    +16+12
    -12+11i+15i²
    +28
    -12+11i-15
    +28
    -3-21i
    +28
  2. -7-3i
    +4+6i
    (-7-3i) * (+4-6i)
    (+4+6i) * (+4-6i)
    -28+42i-12i+18i²
    +16-24
    -28+30i+18i²
    -8
    -28+30i-18
    -8
    -70+14i
    -8
  3. +8-5i
    +7+8i
    (+8-5i) * (+7-8i)
    (+7+8i) * (+7-8i)
    +56-64i-35i+40i²
    +49-56
    +56-99i+40i²
    -7
    +56-99i-40
    -7
    +120-8i
    -7
  4. +9-10i
    +10+12i
    (+9-10i) * (+10-12i)
    (+10+12i) * (+10-12i)
    +90-108i-100i+120i²
    +100-120
    +90-208i+120i²
    -20
    +90-208i-120
    -20
    +198-18i
    -20
  5. +4+6i
    +11+12i
    (+4+6i) * (+11-12i)
    (+11+12i) * (+11-12i)
    +44-48i+66i-72i²
    +121-132
    +44+18i-72i²
    -11
    +44+18i+72
    -11
    +92-4i
    -11
  6. +9+11i
    +12-3i
    (+9+11i) * (+12+3i)
    (+12-3i) * (+12+3i)
    +108+27i+132i+33i²
    +144+36
    +108+159i+33i²
    +180
    +108+159i-33
    +180
    +81+135i
    +180

# Actividad 6

# Suma de complejos

  1. (+3-7i) + (+10-8i)
    (+3+10) + (-7-8)i
    13-15i
  2. (-4-6i) + (-2-3i)
    (-4-2) + (-6-3)i
    -6-9i
  3. (+10-5i) + (-2+7i)
    (+10-2) + (-5+7)i
    8+2i
  4. (-7+8i) + (-8-3i)
    (-7-8) + (+8-3)i
    -15+5i
  5. (+11-2i) + (+7-3i)
    (+11+7) + (-2-3)i
    18-5i

# Resta de complejos

  1. (+7+2i) - (-3+4i)
    (+7+2i) + (+3-4i)
    (+7+3) + (+2-4)i
    10-2i
  2. (+11-4i) - (+12+6i)
    (+11-4i) + (-12-6i)
    (+11-12) + (-4-6)i
    -1-10i
  3. (+9-8i) - (+4-6i)
    (+9-8i) + (-4+6i)
    (+9-4) + (-8+6)i
    5-2i
  4. (+4+4i) - (+7-7i)
    (+4+4i) + (-7+7i)
    (+4-7) + (+4+7)i
    -3+11i
  5. (-11+2i) - (-3+4i)
    (-11+2i) + (+3-4i)
    (-11+3) + (+2-4)i
    -8-2i

# Multiplicación de complejos

  1. (+7-3i) * (-8-6i)
    -56-42i+24i+18i²
    -56-42i+24i-18
    -74-18i
  2. (+10+4i) * (-6-7i)
    -60-70i-24i-28i²
    -60-70i-24i+28
    -32-94i
  3. (+9-6i) * (+10-4i)
    +90-36i-60i+24i²
    +90-36i-60i-24
    +66-96i
  4. (+10-3i) * (+7+6i)
    +70+60i-21i-18i²
    +70+60i-21i+18
    +88+39i
  5. (-4-6i) * (-8-7i)
    +32+28i+48i+42i²
    +32+28i+48i-42
    -10+76i

# División de complejos

  1. -4+8i
    -6-7i
    (-4+8i) * (-6+7i)
    (-6-7i) * (-6+7i)
    +24-28i-48i+56i²
    +36-42
    +24-76i+56i²
    -6
    +24-76i-56
    -6
    +52-4i
    -6
  2. +11-10i
    -3-11i
    (+11-10i) * (-3+11i)
    (-3-11i) * (-3+11i)
    -33+121i+30i-110i²
    +9-33
    -33+151i-110i²
    -24
    -33+151i+110
    -24
    -154+88i
    -24
  3. -5-3i
    -8-2i
    (-5-3i) * (-8+2i)
    (-8-2i) * (-8+2i)
    +40-10i+24i-6i²
    +64-16
    +40+14i-6i²
    +48
    +40+14i+6
    +48
    +50+30i
    +48
  4. -7+2i
    -9-3i
    (-7+2i) * (-9+3i)
    (-9-3i) * (-9+3i)
    +63-21i-18i+6i²
    +81-27
    +63-39i+6i²
    +54
    +63-39i-6
    +54
    +84+42i
    +54
  5. -8-12i
    -2-7i
    (-8-12i) * (-2+7i)
    (-2-7i) * (-2+7i)
    +16-56i+24i-84i²
    +4-14
    +16-32i-84i²
    -10
    +16-32i+84
    -10
    +72-40i
    -10

# Actividad 7

  • 2 multiplicaciones y dividir sus resultados

    1. (+3+7i) * (-2-5i)
      -6-15i-14i-35i²
      -6-15i-14i+35
      +29-29i
    2. (-3-11i) * (+2+4i)
      -6-12i-22i-44i²
      -6-12i-22i+44
      +38-34i
    3. -10+24i
      -24-10i
      (-10+24i) * (-24+10i)
      (-24-10i) * (-24+10i)
      +240-100i-576i+240i²
      +576-240
      +240-676i+240i²
      +336
      +240-676i-240
      +336
      +340+140i
      +336

  • 2 multiplicaciones y dividir sus resultados

    1. (-4-6i) * (-2-3i)
      +8+12i+12i+18i²
      +8+12i+12i-18
      -10+24i
    2. (-3+2i) * (+4+6i)
      -12-18i+8i+12i²
      -12-18i+8i-12
      -24-10i
    3. -10-24i
      -24-10i
      (-10-24i) * (-24+10i)
      (-24-10i) * (-24+10i)
      +240-100i+576i-240i²
      +576-240
      +240+476i-240i²
      +336
      +240+476i+240
      +336
      +340+140i
      +336

  • 2 multiplicaciones y dividir sus resultados

    1. (-3+7i) * (-5+2i)
      +15-6i-35i+14i²
      +15-6i-35i-14
      +1-41i
    2. (-4+2i) * (-8+3i)
      +32-12i-16i+6i²
      +32-12i-16i-6
      +26-28i
    3. +1-41i
      +26-28i
      (+1-41i) * (+26+28i)
      (+26-28i) * (+26+28i)
      +26+28i-1066i-1148i²
      +676+728
      +26-1038i-1148i²
      +1404
      +26-1038i+1148
      +1404
      -2+54i
      +1404

# Gráficas de números complejos

alt text

# Gráfica de complejos

Se llama módulo al número complejo Z

  • |Z| = √(+3+4i)
    |Z| = √(+9+16)
    |Z| = √(25) = 5.000
    Módulo de +3+4i=5.000
    tg⁻¹(3/4)=36.870
    Z = 5.000(cos36.870°+sen36.870°i)

# Actividad 8

Dados los siguientes complejos (Z)

  1. Graficar
  2. Calcular módulo (Z)
  3. Calcular argumento (θ)

alt text

  1. |Z| = √(+3+7i)
    |Z| = √(+9+49)
    |Z| = √(58) = 7.616
    Módulo de +3+7i=7.616
    tg⁻¹(3/7)=23.199
    Z = 7.616(cos23.199°+sen23.199°i)
  2. |Z| = √(+5+2i)
    |Z| = √(+25+4)
    |Z| = √(29) = 5.385
    Módulo de +5+2i=5.385
    tg⁻¹(5/2)=68.199
    Z = 5.385(cos68.199°+sen68.199°i)
  3. |Z| = √(+8+3i)
    |Z| = √(+64+9)
    |Z| = √(73) = 8.544
    Módulo de +8+3i=8.544
    tg⁻¹(8/3)=69.444
    Z = 8.544(cos69.444°+sen69.444°i)
  4. |Z| = √(-3+2i)
    |Z| = √(+9+4)
    |Z| = √(13) = 3.606
    Módulo de -3+2i=3.606
    tg⁻¹(-3/2)=-56.310
    Z = 3.606(cos-56.310°+sen-56.310°i)
  5. |Z| = √(-6+3i)
    |Z| = √(+36+9)
    |Z| = √(45) = 6.708
    Módulo de -6+3i=6.708
    tg⁻¹(-6/3)=-63.435
    Z = 6.708(cos-63.435°+sen-63.435°i)
  6. |Z| = √(-5+7i)
    |Z| = √(+25+49)
    |Z| = √(74) = 8.602
    Módulo de -5+7i=8.602
    tg⁻¹(-5/7)=-35.538
    Z = 8.602(cos-35.538°+sen-35.538°i)
  7. |Z| = √(-4-7i)
    |Z| = √(+16+49)
    |Z| = √(65) = 8.062
    Módulo de -4-7i=8.062
    tg⁻¹(-4/-7)=29.745
    Z = 8.062(cos29.745°+sen29.745°i)
  8. |Z| = √(-2-3i)
    |Z| = √(+4+9)
    |Z| = √(13) = 3.606
    Módulo de -2-3i=3.606
    tg⁻¹(-2/-3)=33.690
    Z = 3.606(cos33.690°+sen33.690°i)
  9. |Z| = √(-8-2i)
    |Z| = √(+64+4)
    |Z| = √(68) = 8.246
    Módulo de -8-2i=8.246
    tg⁻¹(-8/-2)=75.964
    Z = 8.246(cos75.964°+sen75.964°i)
  10. |Z| = √(+4-8i)
    |Z| = √(+16+64)
    |Z| = √(80) = 8.944
    Módulo de +4-8i=8.944
    tg⁻¹(4/-8)=-26.565
    Z = 8.944(cos-26.565°+sen-26.565°i)
  11. |Z| = √(+7-3i)
    |Z| = √(+49+9)
    |Z| = √(58) = 7.616
    Módulo de +7-3i=7.616
    tg⁻¹(7/-3)=-66.801
    Z = 7.616(cos-66.801°+sen-66.801°i)

# Forma binómica de un complejo Z

  • X = a + bi

  • Módulo (Z) = |Z| = √(a² + b²)

  • Argumento (Z) = θ

    • θ = tg⁻¹ (a / b)
    • θ = cos⁻¹ (a / |Z|)
    • θ = sen⁻¹ (b / |Z|)

  • cos θ = a / |Z| => a = |Z| cos θ

  • sen θ = b / |Z| => b = |Z| sen θ

- Forma binómica Forma polar
Z a + bi |Z| cos θ + |Z| sen θ i

# Actividad 9

Expresar en forma polar los siguientes complejos

  1. |Z| = √(+4+6i)
    |Z| = √(+16+36)
    |Z| = √(52) = 7.211
    Módulo de +4+6i=7.211
    tg⁻¹(4/6)=33.690
    Z = 7.211(cos33.690°+sen33.690°i)
  2. |Z| = √(+5+2i)
    |Z| = √(+25+4)
    |Z| = √(29) = 5.385
    Módulo de +5+2i=5.385
    tg⁻¹(5/2)=68.199
    Z = 5.385(cos68.199°+sen68.199°i)
  3. |Z| = √(-4-2i)
    |Z| = √(+16+4)
    |Z| = √(20) = 4.472
    Módulo de -4-2i=4.472
    tg⁻¹(-4/-2)=63.435
    Z = 4.472(cos63.435°+sen63.435°i)
  4. |Z| = √(-6-7i)
    |Z| = √(+36+49)
    |Z| = √(85) = 9.220
    Módulo de -6-7i=9.220
    tg⁻¹(-6/-7)=40.601
    Z = 9.220(cos40.601°+sen40.601°i)
  • Expresar la forma binómica de los siguientes complejos
  1. Z = 3 (cos 45° + sen 45° i) = Z = 2.12 + 2.12i
  2. Z = 7 (cos 60° + sen 60° i) = Z = 3.50 + 6.06i

# Actividad 10

  1. Escribir en términos de i y simplificar la respuesta
  • √-32 = √16 * √2 * √-1 = 4i√2
  • √-75 = √25 * √3 * √-1 = 5i√3
  • √-80 = √40 * √5 * √-1 = 4i√5
  • √-54 = √27 * √6 * √-1 = 3i√6
  • √-8 = √4 * √2 * √-1 = 2i√2
  1. No dejar número negativos dentro de los rádicales, ni radicales en los denominadores
  • √-48 / √-6 = √8 = 2√2
  • √-8 * √2 = √-16 = 4i
  • √-75 / √-3 = √25 = 5
  • √-11 * √7 = √-77 = i√77
  • √7 * √-5 = i√35
  • √-70 / √10 = √-7 = i√7
  • √10 * √-3 = i√30
  • √-15 / √5 = √-3 = i√3
  • √-2 * √-3 = √6
  • √-180 / √10 = √-18 = 3i√2
  1. Suma y Resta
  • (-3-3i) - (-6+5i)
    (-3-3i) + (+6-5i)
    (-3+6) + (-3-5)i
    3-8i
  • (-5-4i) - (+2+4i)
    (-5-4i) + (-2-4i)
    (-5-2) + (-4-4)i
    -7-8i
  • (-4+6i) - (-2+2i)
    (-4+6i) + (+2-2i)
    (-4+2) + (+6-2)i
    -2+4i
  • (+5-5i) + (+6-3i)
    (+5+6) + (-5-3)i
    11-8i
  • (+4-4i) + (-6-3i)
    (+4-6) + (-4-3)i
    -2-7i
  1. Multiplicación
  • (-4-6i) * (+2+2i)
    -8-8i-12i-12i²
    -8-8i-12i+12
    +4-20i
  • (+2-6i) * (+5-4i)
    +10-8i-30i+24i²
    +10-8i-30i-24
    -14-38i
  • (+5-5i) * (+2+6i)
    +10+30i-10i-30i²
    +10+30i-10i+30
    +40+20i
  • (+4-3i) * (+6+4i)
    +24+16i-18i-12i²
    +24+16i-18i+12
    +36-2i
  • (-6+6i) * (-4+3i)
    +24-18i-24i+18i²
    +24-18i-24i-18
    +6-42i
  1. Dividir
  • +1-6i
    -3-2i
    (+1-6i) * (-3+2i)
    (-3-2i) * (-3+2i)
    -3+2i+18i-12i²
    +9-6
    -3+20i-12i²
    +3
    -3+20i+12
    +3
    -5-1i
    +3
  • +1-4i
    +3-4i
    (+1-4i) * (+3+4i)
    (+3-4i) * (+3+4i)
    +3+4i-12i-16i²
    +9+12
    +3-8i-16i²
    +21
    +3-8i+16
    +21
    -1+7i
    +21
  • -2+3i
    +3+4i
    (-2+3i) * (+3-4i)
    (+3+4i) * (+3-4i)
    -6+8i+9i-12i²
    +9-12
    -6+17i-12i²
    -3
    -6+17i+12
    -3
    -14+2i
    -3
  • +2+2i
    +3-4i
    (+2+2i) * (+3+4i)
    (+3-4i) * (+3+4i)
    +6+8i+6i+8i²
    +9+12
    +6+14i+8i²
    +21
    +6+14i-8
    +21
    -2+14i
    +21
  • -3+3i
    +5-2i
    (-3+3i) * (+5+2i)
    (+5-2i) * (+5+2i)
    -15-6i+15i+6i²
    +25+10
    -15+9i+6i²
    +35
    -15+9i-6
    +35
    -9-21i
    +35
  1. Gráficar
  • |Z| = √(+3-1i)
    |Z| = √(+9+1)
    |Z| = √(10) = 3.162
    Módulo de +3-1i=3.162
    tg⁻¹(3/-1)=-71.565
    Z = 3.162(cos-71.565°+sen-71.565°i)
  • |Z| = √(-7+5i)
    |Z| = √(+49+25)
    |Z| = √(74) = 8.602
    Módulo de -7+5i=8.602
    tg⁻¹(-7/5)=-54.462
    Z = 8.602(cos-54.462°+sen-54.462°i)
  • |Z| = √(+6-1i)
    |Z| = √(+36+1)
    |Z| = √(37) = 6.083
    Módulo de +6-1i=6.083
    tg⁻¹(6/-1)=-80.538
    Z = 6.083(cos-80.538°+sen-80.538°i)
  • |Z| = √(-2+8i)
    |Z| = √(+4+64)
    |Z| = √(68) = 8.246
    Módulo de -2+8i=8.246
    tg⁻¹(-2/8)=-14.036
    Z = 8.246(cos-14.036°+sen-14.036°i)
  • |Z| = √(+2-1i)
    |Z| = √(+4+1)
    |Z| = √(5) = 2.236
    Módulo de +2-1i=2.236
    tg⁻¹(2/-1)=-63.435
    Z = 2.236(cos-63.435°+sen-63.435°i)
  • |Z| = √(-4+8i)
    |Z| = √(+16+64)
    |Z| = √(80) = 8.944
    Módulo de -4+8i=8.944
    tg⁻¹(-4/8)=-26.565
    Z = 8.944(cos-26.565°+sen-26.565°i)
  • |Z| = √(-1+1i)
    |Z| = √(+1+1)
    |Z| = √(2) = 1.414
    Módulo de -1+1i=1.414
    tg⁻¹(-1/1)=-45.000
    Z = 1.414(cos-45.000°+sen-45.000°i)
  • |Z| = √(+6-3i)
    |Z| = √(+36+9)
    |Z| = √(45) = 6.708
    Módulo de +6-3i=6.708
    tg⁻¹(6/-3)=-63.435
    Z = 6.708(cos-63.435°+sen-63.435°i)
  • |Z| = √(-2+1i)
    |Z| = √(+4+1)
    |Z| = √(5) = 2.236
    Módulo de -2+1i=2.236
    tg⁻¹(-2/1)=-63.435
    Z = 2.236(cos-63.435°+sen-63.435°i)
  • |Z| = √(+3-6i)
    |Z| = √(+9+36)
    |Z| = √(45) = 6.708
    Módulo de +3-6i=6.708
    tg⁻¹(3/-6)=-26.565
    Z = 6.708(cos-26.565°+sen-26.565°i)

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# Actividad 11

  • Todos son números reales. Simplificar la respuesta

  1. v² = 36 v = ±6

  2. v² = 16 v = ±4

  3. w² = 49 w = ±7

  4. x² = 36 x = ±6

  5. y² = 25 y = ±5

  • Simplificar el número complejo lo más que se pueda
  1. 1⁴⁵ = (i²)²² * (i) = (-1)²² * i = i
  2. 1²⁹ = (i²)¹⁴ * (i) = i
  3. 1⁵⁵ = (i²)²⁷ * (i) = (-1)²⁷ * i = -i
  4. 1⁴³ = (i²)²¹ * (i) = (-1)²¹ * i = -i
  5. 1⁴⁶ = (i²)²³ = -1
  • Simplificar esto
  1. [x - (4 - 3i)] * [x - (4 - 3i)] = x² - 8x + 25
  2. [x - (6 - 2i)] * [x - (6 - 2i)] = x² - 12x + 40
  3. [x - (2 - 5i)] * [x - (2 - 5i)] = x² - 4x + 29
  4. [x - (4 - 5i)] * [x - (4 - 5i)] = x² - 8x + 41
  5. [x - (5 - 2i)] * [x - (5 - 2i)] = x² - 10x + 29
  • Resolver para x

  1. 4x² - 24x = 0 => 4x² (x - 6) = 0 4x = 0 | x - 6 = 0 x₁ = 0 | x₂ = 6

  2. 3x² + 21x = 0 => 3x² (x + 7) = 0 3x = 0 | x + 7 = 0 x₁ = 0 | x₂ = -7

  3. 5x² + 10x = 0 => 5x² (x + 2) = 0 5x = 0 | x + 2 = 0 x₁ = 0 | x₂ = -2

  4. 3x² - 18x = 0 => 3x² (x - 6) = 0 3x = 0 | x - 6 = 0 x₁ = 0 | x₂ = 6

  5. 6x² - 24x = 0 => 6x² (x - 4) = 0 6x = 0 | x - 4 = 0 x₁ = 0 | x₂ = 4

# Actividad 12

  • Resolver para X
  1. (x + 6)² = 2x² + 22x +
  • x² + 12x + 36 = 2² + 22x + 60
  • x₁ = -6
  • x₂ = -4
  1. (x - 5)² = 2x² - 6x + 28
  • x² - 10x + 25 = 2x² - 6x + 28
  • x₁ = -3
  • x₂ = -1
  1. (x - 2)² = 2x² - 13x + 24
  • x² - 4x + 4 = 2x² - 13x + 24
  • x₁ = 4
  • x₂ = 5
  1. (x - 3)² = 2x² - 16x + 30
  • x² - 6x + 9 = 2x² - 16x + 30
  • x₁ = 3
  • x₂ = 7
  1. (x + 2)² = 2x² + 13x + 18
  • x² + 4x + 4 = 2x² + 13x + 18
  • x₁ = -7
  • x₂ = -2
  1. (x + 2)² - 50 = 0
  • (x + 2)² = 50
  • x + 2 = ± √50
  • x = - 2 ± √50
  • x₁ = - 2 + √50
  • x₂ = - 2 - √50
  1. (x + 6)² - 32 = 0
  • (x + 6)² = 32
  • x + 6 = ± √32
  • x = - 6 ± √32
  • x₁ = - 6 + √32
  • x₂ = - 6 - √32
  1. (x - 10)² - 18 = 0
  • (x - 10)² = 18
  • x - 10 = ± √18
  • x = 10 ± √18
  • x₁ = 10 + √18
  • x₂ = 10 - √18
  1. (x - 2)² - 80 = 0
  • (x - 2)² = 80
  • x - 2 = ± √80
  • x = 2 ± √80
  • x₁ = 2 + √80
  • x₂ = 2 - √80
  1. (x + 10)² - 45 = 0
  • (x + 10)² = 45
  • x + 10 = ± √45
  • x = - 10 ± √45
  • x₁ = - 10 + √45
  • x₂ = - 10 - √45
  1. ³√x = 2
  • x = 2³
  • x = 8
  1. ⁴√x = 3
  • x = 3⁴
  • x = 81
  1. ³√x = 3
  • x = 3³
  • x = 27
  1. ⁴√x = 2
  • x = 2⁴
  • x = 16
  1. Kira está corriendo en una carretera. Ella corre 11.2 millas a una velocidad de 7 millas por hora ¿Cuantás horas corre?
  • Distancia = Velocidad * Tiempo
  • Tiempo = Distancia / Velocidad = 11.2 millas / 7 millas por hora = 1.6 horas
  1. Deandra saliá a caminar. Él se tardó 3 horas en caminar 7.5 millas. ¿Cuál es su velocidad?
  • Velocidad = Distancia * Tiempo = 3 horas * 7.5 millas = 1 hora * 2.5 millas = 2.5 millas por hora
  1. Una tortuga camina en el desierto. Camina 7.5 metros en 3 minutos. ¿Cuál es su velocidad?
  • Velocidad = Distancia * Tiempo = 3 minutos * 7.5 metros = 1 hora * 150 metros = 150 metros por hora
  1. Una tortuga camina en el desierto. Camina 17.5 metros a una velocidad de 7 metros por minuto. ¿Cuantos minutos camina?
  • 17.5 metros / 7 metros por minuto = 2.5 minutos

# Actividad 13

  1. El área de un rectángulo de 21 ft² y la longitud del rectángulo es 1 ft menos que el doble del ancho. Hallar las dimensiones del rectángulo
  • 2x - 1
  • x (2x - 1) = 21
  • 2x² - x - 21 = 0
  • x₁ = 3
  • x₂ = 3.5
  1. El área de un rectángulo de 44 ft² y la longitud del rectángulo es 3 ft menos que el doble del ancho. Hallar las dimensiones del rectángulo
  • 2x² - 3x = 44
  • 2x² - 3x - 44 = 0
  • (2x - 3) x = 2x² - 3x
  • x₁ = 5.5
  • x₂ = -4
  1. La longitud del rectángulo es 5 yd más que el doble del ancho, y el área es de 42 yd². Hallar las dimensiones del rectángulo
  • 2x² + 5x = 42
  • 2x² + 5x -42 = 0
  • x₁ = 3.5
  • x₂ = -6
  1. Lanzan una pelota de una altura inicial de 4 pies con una velocidad de 33 pies/segundo, la altura h (en pies) después de t segundos se obtiene con: h = 4 + 3t - 16t². Hallar los valores de t para los cuales la altura h de la pelota es 20 pies
  • h = 20
  • h = 4 + 33t - 16t²
  • t = 1.28
  • -16t² + 33t + 6 = 0
  • t₂ = 0.77
  1. Lanzan un cohete con una velocidad de 235 ft/segundo. La altura h (en pies) después de t seg se obtiene con: h = 235t - 16t². Hallar los valores de t para h = 151 ft
  • h = 235t - 16t²
  • -16t² + 235 - 151 = 0
  • x = √427 = 20.66
  1. Un edificio que mide 27 m proyecta una sombra. La distancia desde la cima del edificio a la punta de la sombra es 34 m. Hallar la longitud de la sombra
  • x² + (27)² = 34²
  • x = √427 = 20.66
  1. Un papalote que vuela en el aire tiene una línea que mide 11 ft. Su linea se tensa y proyecta una sombra de 8ft. Hallar la altura del papalote. alt text
  • h² + 8² = 11²
  1. Un papalote que vuela en el aire tiene una línea que mide 12 ft. Su linea se tensa y proyecta una sombra de 11ft. Hallar la altura del papalote. alt text
  • h² + 11² = 12²
  • √(141 - 121)
  • √23 = 4.79
  1. Convertir el enunciado en ecuación. La suma de 2 por un número y 6 es equvalente a 7
  • 2 * (w - 2) = 7
  1. Convertir el enunciado en ecuación. El doble de la diferencia entre un número y 2 es equivalente a 7
  • 2x + 6 = 7

# Actividad 14

  1. A continuación se muestran los diagramas de dispersión de 4 conjuntos de datos. Contestar las siguientes preguntas

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  • a) Seleccionar el conjunto de datos que tiene un valor atípico

    • Figura 1

  • b) Seleccionar los 2 conjuntos que muestran agrupamiento

    • Figura 2
    • Figura 4
  1. El diagrama de Venn muestra las membrecias del club de Voleibol y del club de tenis. Utilizar el diagrama para contestar las preguntas a continuación

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  • a) ¿Cuantas preguntas juegan tenis? 6
  • b) ¿Cuantas personas juegan Voleibol y tenis? 2
  • c) ¿Cuantas personas juegan Voleibol pero no tenis? 3
  1. Si la altura de vista de una persona es h metros sobre el nivel del mar, este puede ver hasta d kilómetros en el horizonte, donde d = 3.6√h. Supongamos que una persona puede ver hasta d = 18.9 kilómetros en el horizonte. ¿Cuál es la altura h sobre el nivel del mar de su vista? 18.9 = 3.6√h
  • √h = 18.9/3.6 => (√h)² = (18.9/3.6)² = 27.56
  1. Resolver para v

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  • (4v + 3) * (2v + 1) = 0
  • v¹ = -3/4
  • v₂ = -1/2

# Actividad 1

Polinomios

  1. (7x² - 3x - 7) + (6x² - 5x + 1) = 13x² - 8x - 1
  2. (3x² - 2x - 1) + (5x² - 4x + 1) = 8x² - 6x - 6
  3. (-4x² + 6x - 1) + (2x² + 3x + 5) = 24x² + 2x + 4
  4. (6x² - 3x - 4) + (2x² - 5x + 7) = 8x² - 8x + 3
  5. (7x² - 4x - 5) + (1x² - 3x + 2) = 8x² - 7x - 3
  6. (7x² - 3x - 7) + (6x² - 5x + 1) = 13x² - 8x - 1
  7. (3x² - 2x - 1) + (5x² - 4x + 1) = 8x² - 6x - 6
  8. (-4x² + 6x - 1) + (2x² + 3x + 5) = 24x² + 2x + 4
  9. (6x² - 3x - 4) + (2x² - 5x + 7) = 8x² - 8x + 3
  10. (7x² - 4x - 5) + (1x² - 3x + 2) = 8x² - 7x - 3
  11. (7x² - 3x - 7) + (6x² - 5x + 1) = 13x² - 8x - 1
  12. (3x² - 2x - 1) + (5x² - 4x + 1) = 8x² - 6x - 6
  13. (-4x² + 6x - 1) + (2x² + 3x + 5) = 24x² + 2x + 4
  14. (6x² - 3x - 4) + (2x² - 5x + 7) = 8x² - 8x + 3
  15. (7x² - 4x - 5) + (1x² - 3x + 2) = 8x² - 7x - 3

# Actividad 2

  1. vx - 3v - 4x + 12 = (x - 3) (v - 4) = v (x - 3) - 4 (x + 3)
  2. vw - 3v - 4x + 12 = (x - 3) (v - 4) = v (x - 3) - 4 (x + 3)
  3. vx - 3v - 4x + 12 = (x - 3) (v - 4) = v (x - 3) - 4 (x + 3)
  4. vx - 3v - 4x + 12 = (x - 3) (v - 4) = v (x - 3) - 4 (x + 3)
  5. vx - 3v - 4x + 12 = (x - 3) (v - 4) = v (x - 3) - 4 (x + 3)

# Factorizar

  1. (7x² - 3x - 7) + (6x² - 5x + 1) = 13x² - 8x - 1
  2. (3x² - 2x - 1) + (5x² - 4x + 1) = 8x² - 6x - 6
  3. (-4x² + 6x - 1) + (2x² + 3x + 5) = 24x² + 2x + 4
  4. (6x² - 3x - 4) + (2x² - 5x + 7) = 8x² - 8x + 3
  5. (7x² - 4x - 5) + (1x² - 3x + 2) = 8x² - 7x - 3

# Actividad 3

  1. x² + 10x + 18 - x + 7 = x - 7
  • -x + 3 / √(x² + 10x + 18)
  • -x² - 7x / 3x + 18
  • -3x - 21 / -3
  • Cociente: x + 3
  • Residuo: -3
  1. x² + 10x + 18 - x + 7 = x - 7
  • -x + 3 / √(x² + 10x + 18)
  • -x² - 7x / 3x + 18
  • -3x - 21 / -3
  • Cociente: 3x + 4
  • Residuo: -2
  1. x² + 10x + 18 - x + 7 = x - 7
  • -x + 3 / √(x² + 10x + 18)
  • -x² - 7x / 3x + 18
  • -3x - 21 / -3
  • Cociente: 2x + 3
  • Residuo: 5
  1. x² + 10x + 18 - x + 7 = x - 7
  • -x + 3 / √(x² + 10x + 18)
  • -x² - 7x / 3x + 18
  • -3x - 21 / -3
  • Cociente: 4x + 5
  • Residuo: -2
  1. x² + 10x + 18 - x + 7 = x - 7
  • -x + 3 / √(x² + 10x + 18)
  • -x² - 7x / 3x + 18
  • -3x - 21 / -3
  • Cociente: 4x + 5
  • Residuo: -2

# Actividad 4

  1. 2x²-6x-8 = 0
    -(-6) ± √(-6² - (4 * 2 * -8))
    2 * 2
    6 ± 10
    4
    x₁ = 4
    x₂ = -1
  2. 2x²-4x-30 = 0
    -(-4) ± √(-4² - (4 * 2 * -30))
    2 * 2
    4 ± 16
    4
    x₁ = 5
    x₂ = -3
  3. 2x²-3x+1 = 0
    -(-3) ± √(-3² - (4 * 2 * 1))
    2 * 2
    3 ± 1
    4
    x₁ = 1
    x₂ = 0.5
  4. 3x²+10x-5 = 0
    -(10) ± √(10² - (4 * 3 * -5))
    2 * 3
    -10 ± 12.649110640673518
    6
    x₁ = 0.441518440112253
    x₂ = -3.7748517734455866
  5. 5x²-3x-36 = 0
    -(-3) ± √(-3² - (4 * 5 * -36))
    2 * 5
    3 ± 27
    10
    x₁ = 3
    x₂ = -2.4
  6. 4x²+7x+3 = 0
    -(7) ± √(7² - (4 * 4 * 3))
    2 * 4
    -7 ± 1
    8
    x₁ = -0.75
    x₂ = -1
  7. 6x²-3x-18 = 0
    -(-3) ± √(-3² - (4 * 6 * -18))
    2 * 6
    3 ± 21
    12
    x₁ = 2
    x₂ = -1.5
  8. 7x²-9x+2 = 0
    -(-9) ± √(-9² - (4 * 7 * 2))
    2 * 7
    9 ± 5
    14
    x₁ = 1
    x₂ = 0.2857142857142857

# Actividad 5

Hallar los polinomios f(x) de grado 3 que tienen las siguientes raíces o ceros alt text alt text alt text

# Actividad 6

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# Actividad 7

  1. (7x² - 3x - 7) + (6x² - 5x + 1) = 13x² - 8x - 1
  2. (3x² - 2x - 1) + (5x² - 4x + 1) = 8x² - 6x - 6
  3. (-4x² + 6x - 1) + (2x² + 3x + 5) = 24x² + 2x + 4
  4. (6x² - 3x - 4) + (2x² - 5x + 7) = 8x² - 8x + 3
  5. (7x² - 4x - 5) + (1x² - 3x + 2) = 8x² - 7x - 3
  6. (7x² - 3x - 7) + (6x² - 5x + 1) = 13x² - 8x - 1
  7. (3x² - 2x - 1) + (5x² - 4x + 1) = 8x² - 6x - 6
  8. (-4x² + 6x - 1) + (2x² + 3x + 5) = 24x² + 2x + 4
  9. (6x² - 3x - 4) + (2x² - 5x + 7) = 8x² - 8x + 3
  10. (7x² - 4x - 5) + (1x² - 3x + 2) = 8x² - 7x - 3
  11. (7x² - 3x - 7) + (6x² - 5x + 1) = 13x² - 8x - 1
  12. (3x² - 2x - 1) + (5x² - 4x + 1) = 8x² - 6x - 6
  13. (-4x² + 6x - 1) + (2x² + 3x + 5) = 24x² + 2x + 4
  14. (6x² - 3x - 4) + (2x² - 5x + 7) = 8x² - 8x + 3
  15. (7x² - 4x - 5) + (1x² - 3x + 2) = 8x² - 7x - 3

# Actividad 8

Determinar si cada par ordenado (x, y) es una desigualdad.

  1. 4x - 6y > -18 (8, 5), (0, 3), (5, -3), (-9, -2)

  2. 9x + 4y > 14 (-2, 8), (1, 4), (0, -5), (-3, -2)

  3. 4x - 6y <= -18 (8, 5), (-9, -2), (0, 3), (5, -3)

  4. 9x - 5y > 15 (5, 6), (-2, -7), (0, 4), (3, -1)

  5. 7x - 4y >= 18 (4, -1), (-2, -8), (8, 9), (-3, 0)

  6. Mary maneja un camión de refrescos. Su camión está cargado con latas de 15 onzas y botellas de 70 onzas. Sea c el número de onzas y b el número de botellas de 70 onzas. La carga del camión debe ser menor de 112,000 onzas. Escribir una desigualdad que describa esto.

  • 9x - 5y > 15
  1. En un taller de autos toma 9 minutos hacer un cambio de aceite y 15 minutos un cambio de llantas, x representa el número de cambios de aceite, y el número de cambios de llantas. Escriba una desigualdad del caso en un tiempo no mayor a 120 minutos.
  • 9x + 4y > 14
  1. Pablo planea correr y nadar. Sea r el número de vueltas que corre y s el número de vueltas que nada. Cada vuelta que corre tarda 3 minutos, y cada vuelta que nada toma 2 minutos. El quiere ejercitarse por lo menos 45 minutos. Escribir una desigualdad que describa el caso.
  • 4x - 6y > -18

# Actividad 9

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  1. Hoy en el almuerzo Ivanna le sirve a su hijo papitas fritas y alitas de pollo. Sea f el número de papitas fritas y c el número de alitas de pollo. Cada papita tiene 25 calorías y cada alita 100 calorías. Ivanna quiere la cantidad total de calorías de las papitas y las alitas sea menor de 700 calorías, utilizar los valores y las variables dadas para escribir una desigualdad que describa esto. 25f + 100c < 700

  2. Por su servicio telefónico Kevin para una cuota mensual de $19 y paga $0.06 adicionales por minuto de uso. La cantidad menor que el ha tenido que pagar por més es de $97.72 ¿Cuáles son las posibles cantidades de minutos que utiliza su teléfono mensualmente? m = minutos. Resolver la desigualdad.

  • 19 + 0.06m >= 97.72
  • 0.06m >= 97.72 - 19
  • 0.06m >= 78.72
  • m >= 78.72 / 0.06
  • m >= 1312