# Algebra

Profesor: Jesús Arriaga Garza

Temas para el primer parcial

Introducción a los números reales
Propiedades de los números reales
Propiedades de campo
Potencias, logaritmos y funciones exponenciales. Aplicaciones

Evaluación

Actividades (8 => 1 por clase) 20%
Tareas (laboratorios: 8 o menos) 20%
Examen 60%

# Plataforma ALEKS LATAM

Curso: 18 semanas
Código de clase: X3NGW_GGRNQ
Código de descuento: HE_UVM18W
Naturales: 1, 2, 3, 4... => Reales
Operaciones: Suma y multiplicación

# Axiomas de campo

Cerradura para la suma y la multiplicación: Suma y multiplicación se satisfacen.
Conmutatividad (+, ): Se satisface para la suma a+b=b+a y la multiplicación ab=b*a
Asociatividad (+, *): el orden de los factores no altera el producto.

Construcción del conjunto de los números Reales (R) a partir del conjunto de los Naturales (N)

Naturales = N = {1, 2, 3, 4, 5…}

Se somete N (los Naturales) a 6 axiomas de campo, bajo las operaciones de suma y multiplicación.

Axioma de Cerradura (+, *). Si a y b están en N:

a + b también estará en N: 3 + 4 = 7
a * b también estará en N: 3 * 4 = 12

Axioma de conmutabilidad (+, *). Si a y b están en N: (se puede cambiar el orden)

a + b = b + a: 3 + 4 = 4 + 3
a * b = b * a: 3 * 4 = 4 * 3

Axioma de asociatividad (+, *). Si a, b y c están en N:

a + (b + c) = (a + b) + c
3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5
3 + 9 = 7 + 5
12 = 12
a * (b * c) = (a * b) * c
3 * (4 * 5) = (3 * 4) * 5
3 * 20 = 12 * 5
60 = 60

Axioma de distributivilidad de la multiplicación respecto a la suma. Si a, b y c están en N:

a * (b + c) = a * b + a * c
3 * (4 + 5) = 3 * 4 + 3 * 5
3 * 9 = 12 + 15
27 = 27

Axioma de los elementos neutros o identidad (+, *):

a + 0 = a
“conjunto N” U {0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}
a * 1 = a
El “0” y el “1” son los elementos neutros o de identidad para la suma y la multiplicación respectivamente.

Axioma de los elementos inversos (+, *)

Suma: a + (-a) = 0
Si a son los enteros positivos E+ y -a son los enteros negativos E-
Entonces: N U {0} U E-
Entonces: E+ U {0} U E-
Multiplicación: a * (1/a) = 1
3 * (1/3) = 1
Se necesitan las fracciones de la forma {p/q} (todas las fracciones)
Entonces: E+ U E- U {0} U {p/q}
A los números que se pueden expresar como el cociente de 2 enteros se llaman RACIONALES: E + U E- U {0} U {p/q}

Los números IRRACIONALES no se pueden expresar como el cociente de 2 enteros. Por ejemplo: π o e, y sus factores -2π, -8π, 2e…

Los números Reales son: E + U E- U {0} U {p/q} U I (Irracionales)
REALES = RACIONALES + IRRACIONALES

# Actividad 2

Hay que expresar que axioma se aplica en cada ejercicio:

Cerradura para la suma: 3 + 6 = 9
Cerradura para la suma: 5 + 14 = 19
Conmutabilidad para la suma: 6 + 7 = 7 + 6
Conmutabilidad para la suma: 5 + 8 = 8 + 5
Cerradura para la multiplicación: 3 * 8 = 24
Cerradura para la multiplicación: 6 * 1 = 6
Conmutabilidad para la multiplicación: 9 * 2 = 2 * 9
Conmutabilidad para la multiplicación: 10 * 3 = 3 * 10
Asociatividad para la suma: 2 + (3 + 6) = (2 + 3) + 6
Conmutabilidad para la suma: 5 + (2 + 1) = (5 + 2) + 1
Asociatividad para la multiplicación: 2 * (3 * 6) = (2 * 3) * 6
Asociatividad para la multiplicación: 5 * (2 * 1) = (5 * 2) * 1
Distributivilidad de la multiplicación respecto a la suma: 6 * (4 + 5) = 6 * 4 + 6 * 5
Cerradura para la suma: 6 + 0 = 6
Cerradura para la multiplicación: 7 * 1 = 7
Elementos neutros o identidad para la suma: 4 + (-4) = 0
Elementos inversos para la multiplicación: 6 * (1/6) = 1

# Regla de signos para la multiplicación y la división

# Multiplicación

(+) * (+) = +
(+) * (-) = -
(-) * (+) = -
(-) * (-) = +

# División

(+) / (+) = +
(+) / (-) = -
(-) / (+) = -
(-) / (-) = +

# Actividad 3

Efectuar las siguientes multiplicaciones.

(+3) * (+4) = +12
(-5) * (-3) = +15
(+4) * (-5) = -20
(-3) * (6) = -18
(-6) * (5) = -30
(1) * (-6) = -6
(-3) * (-3) = +9
(+3) * (-12) = -32
(+4) * (+8) = +32
(-4) * (-8) = +32
(-5) * (-12) = +60
(-8) * (-1) = +8
(+7) * (-9) = -63
(+5) * (-8) = -40
(-8) * (-3) = +24
(-9) * (+3) = -27
(-7) * (+7) = -49
(-6) * (-8) = +48
(-4) * (-2) * (-4) = -32
(+3) * (-2) * (+5) = -30
(-2) * (-3) * (-4) = -24
(-2) * (-2) * (-2) * (-2) = 16
(-3) * (+2) * (-2) * (+1) * (-1) * (+5) = -60
(-2) * (-2) * (+4) * (-5) * (+1) * (-1) = 80
(-7) * (+7) * (+15) * (-3) * (-6) = -13230

Efectuar las siguientes divisiones:

15 / 3 = 5
-15 / -3 = 5
-15 / 3 = -5
15 / -3 = -5
12 / -6 = -2
-6 / -6 = 1
-8 / 1 = -8
6 / 3 = 2
-24 / 8 = -3
-12 / 3 = -4
10 / -2 = -5
-20 / 5 = -4
-18 / -3 = 6
18 / -3 = -6
18 / 3 = 6
-6 / -3 = 2
4 / -4 = -1
12 / -6 = -2
-5 / 1 = -5
-12 / 3 = -4
-24 / 6 = -24
24 / -8 = -3
-9 / -9 = 1
14 / 1 = 14
-28 / 14 = -2

# Actividad 4

Operaciones combinadas:

(-7 + (-4)) / (-9 * 8) = 0.152 = 11 / -72
((-3) * (-4)) / -6 = -2
((-3 * 5) – (-2*4)) / (-8 * 7) = 0.125 = -7 / -56
((3 * 1) – (-2 * 5)) / (-3 * 2) = -2.166 = 13 / -6
(-4 * -2 * -3) / (-5 * -10) = -0.48 = -24 / 50

# Fracciones

Fracciones con igual denominador
Fracciones con diferente denominador

# Actividad 5

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# Escribir en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales

A + B
A – B
A * B
X * Y * Z – 5
3X
(X/Y) * (X/Y)
X/Y
(X + Y) / Z
(X - Y) / Z
(X+Y) / (X-Y)
X² + 13
X³ – 6
3X²
2X³
√(X*Y)
(X + Y)²
X² + Y²
(X - Y)²
X² - Y²
(X + Y)³
X³ + Y³
(X - Y)³
X³ - Y³
X² /2
(X/2)²
X³ /3
(X/3)³
P = A + B +C
d = v * t
A = b * h
A = (a + b) * h
X + 3 = 8
X – 5 = 13
X + 4 = 10 – X
3X = 2Y

# Actividad 6

# Escribir en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas

El doble de un número más otro número
El producto de 3 números
El producto de 2 números mas la suma de esos mismos números
Un numero menos la diferencia de 2 números
La suma de 2 números menos la diferencia de esos mismos números
La suma de 2 números entre 10
La suma de 2 números menos la diferencia de esos números entre el producto de esos números
El triple del cuadrado de un numero
El cuadrado de la suma de 2 números entre 2
La suma de 2 números al cuadrado dividido entre 2
La diferencia de los cuadrados de 2 números
El perímetro es igual al triple de un lado de un triángulo equilátero
El tiempo es igual a la distancia entre la velocidad
El perímetro es igual al doble de la suma de 2 de los lados de un rectángulo
El área es igual al cuadrado de un lado de un cuadrado

# Leyes de los exponentes

Elementos de un término algebraico +3x⁴ (Signo / Coeficiente o factor numérico (veces que la literal se expresa como sumando) / Base o factor literal / Exponente)

# 1ra Ley de Exponentes

x^m * x^n = x^(m+n)
x² * x⁵ = x^(2+5) = x⁷

# 2da Ley de Exponentes

x^m / x^n = x^(m-n)
x⁷ / x³ = x^(7-3) = x⁴

# 3ra Ley de Exponentes

x⁰ = 1

# 4ta Ley de Exponentes

(x * y)^m = x^m * y^m

# 5ta Ley de Exponentes

(x^m)^n = x^(m*n)
(3x²)³ = 3³ * x⁶

# 6ta Ley de Exponentes

x^+m = 1 / x^-m
x^-m = 1 / x^+m
x^-5 = 1 / 3^+5

# Actividad 6

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x ^ 8
5 ^ 5
2 ^ 7
x ^ (m + n)
x ^ (2n + 1)
3³
x⁵
x⁵
x ^ (m + n - r)
/
x⁶
10 ^ -10
10 ^ -6
5 ^ -1
-x²⁰
-x²⁰
10 ^ (3 / 2)
x ^ (m * n)
x ^ 6
81 ^ 3/2
9 (x ^ 2)
(4 ^ n) (x ^ n) (y ^ n)
15 ^ 3 = 3375‬
(16xy⁶) ^ (1/2)
(x⁴) (y⁶)
125 (x ^ 6)
81 x ^ 6 y ^ 7
x ^ 2 / y ^ -6
0
0
(x ^ n) (y ^ n)
125 * 1000⁵
x ^ h / y ^ h
9 / 16
4x / 9y
x ^ 2n / y ^ 3n
25 / 9
4 / 25
x ^ 2 / y⁴
0
x ^ m / x ^ n
x³ / x²
7⁵ / 7²
10 ^ (3 / 2)
x ^ (m * n)
x⁶
81 ^ 3/2
9 (x ^ 2)
3³
34x⁵
8x⁵
y * 3x ^ (m + n)
1
4y
5
7
2
0
0
0
-6
-5
4x⁴
4x⁴

# Actividad 8

5 > 3
4 > -1
-5 > -7
-9 > -100
4 > 3
4 > 0
4 > -4
-9 < -8
-20 > -21
-10 = -10
7 = 7
9 > -9
-100 < -99
-1000 < -999

# Evaluar una expresión

Expresión	Valores	Sustitución	Resultado
3a - b	a = -5, b = -3	3 * -5 - (-3)	12
7x - 3y + 4	x = -1, y = -3	7 * -1 - 3 * -3 + 4	6
10w - 4x - 5y	w = -2, x = 0, y = -10	10 * -2 - 4 * 0 - 5 * -10	30
7 - 3a - 4b	a = -6, b = -3	7 - 3 * -6 - 4 * -3	37
10 - 3x - 3y - 4w	x = 1, y = -5, w = -2	10 - 3 * 1 - 3 * -5 - 4 * -2	30

# Aplicar el axioma de distributibilidad

4 * (6x - 8y - 3z - 1) = 24x - 32y - 12z - 4
7 * (3a + 6b - 8c + 2) = 21a + 42b - 56c + 14
3x * (2x² - 3x - 1) = 3x² - 6x² -3x
4w * (-6w³ + 8w² - 3w - 5) = - 16x⁴ + 32w³ - 12w² - 2a
6x² * (-2x² -2x -3) = 12z² -24z³ -16z

# Suma y resta de fracciones

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9 / 5
10 / 2
1 / 5
2 / 5
1 / 4
1 / 6
8 / 24
7 / 20
3 / 6
4 + 3 / 4

# Notación decimal y notación potencia base 10

1 000 = 1 * 10 ^ 3
30 000 = 3 * 10 ^ 4
0.000 007 = 7 * 10 ^ -6
0.4 * 10 ^ 8 = 40 000 000
5 * 10 ^ -5 = 0.000 04
7.12 * 10 ^ -6 = 0.000 007 12

# Actividad 9

1 000 000 000 000 = 1 * 10¹²
1 000 000 000 = 1 * 10⁹
1 000 000 = 1 * 10⁶
1 000 = 1 * 10³
100 = 1 * 10²
10 = 1 * 10¹
1 = 1 * 10⁰
0.1 = 1 * 10 ^ -1
0.01 = 1 * 10 ^ -2
0.001 = 1 * 10 ^ -3
0.000 1 = 1 * 10 ^ -4
0.000 01 = 1 * 10 ^ -5
0.000 000 001 = 1 * 10 ^ -9
0.000 000 000 001 = 1 * 10 ^ -12
5 = 5 * 10⁰
250 = 25 * 10¹
7580 = 758 * 10¹
3 500 000 = 3.5 * 10⁶
0.2 = 2 * 10 ^ -1
0.07 = 7 * 10 ^ -2
0.000 48 = 4.8 * 10 ^ -5
0.000 000 327 = 3.27 * 10 ^ -9
0.000 07 * 4 300 000 000 = 301 000 = 3.01 * 10⁵

# Actividad 10

Multiplicación y división de fracciones. √

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6 / 15 = 2 / 5
10 / 15
-7 / -15
-50 / -12 = -25 / -6
-2 / -21
-35 / -16
2 / 15
35 / 24
3 / 5
8 / 9
30 / 2 = 15 / 1
-63 / -40
-36 / -10
-99 / -8
-80 / -117
49 / 40
log 54 = 1.73239375982
log 235 = 2.37106786227
log 75 = 1.87506126339
log 1250 = 3.09691001301
log 815 = 2.91009054559
log 900 = 2.91009054559
log √0 = 2.95424250944
log √7 = 0.42254902
log √5 = 0.34948500216
log √0.07 = -0.57745097999
log √0.0019 = -1.36062319952
log √0.00005 = -2.15051499783
ln 54 = 3.98898404656
ln 235 = 5.45958551414
ln 75 = 4.31748811354
ln 1250 = 7.1308988303
ln 900 = 6.80239476332
ln 0.07 = -2.65926003693
ln 0.0019 = 0
ln 0.0005 = -7.60090245954

# Actividad 11

Considerar las siguientes propiedades de los números reales:

Propiedad conmutativa de la suma (no importa el orden)
Propiedad asociativa de la suma (no importan los parentesis)
Propiedad de identidad para la suma (sumar 0 a cualquier número da como resultado el mismo número)
Propiedad inversa para la suma (un número sumado por su opuesto da 0)
Propiedad distributiva (la multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos)
Propiedad conmutativa para la multiplicación (no importa el orden)
Propiedad asociativa para la multiplicación (no importan los parentesis)
Propiedad de identidad para la multiplicación (multiplicar 1 a cualquier número da como resultado el mismo número)
Propiedad inversa para la multiplicación (un número multiplicado por su opuesto da 0)
Propiedad multiplicativa del 0 (el producto de cualquier número Real x y 0 es siempre igual a 0)

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Propiedad conmutativa de la suma
Propiedad multiplicativa del 0
Propiedad asociativa para la multiplicación
Propiedad de inversa para la multiplicación
Propiedad de identidad para la suma
Propiedad de inversa para la multiplicación
Propiedad conmutativa para la multiplicación
Propiedad asociativa para la multiplicación
Propiedad de inversa para la multiplicación
Propiedad de multiplicativa del 0
Propiedad asociativa para la multiplicación
Propiedad conmutativa de la suma
Propiedad multiplicativa del 0
Propiedad de inversa para la multiplicación
Propiedad conmutativa de la suma
Propiedad asociativa para la multiplicación
Propiedad conmutativa para la multiplicación
Propiedad asociativa para la suma
Propiedad multiplicativa del 0
Propiedad de identidad para la multiplicación

# Evaluar

(-8)² = 64
(-4)³ = -64
(-5)³ = -125
(-8)⁴ = 4096
(-9)² = 81
(-4)³ = -64
(-5)⁴ = 625
(-8)³ = -512
(-7)³ = -343
(-9)⁵ = -59049

# Actividad 12

# Responder a lo siguiente

Cierta solución tiene una concentración de iones de hidrógeno de 0.000 006 53 moles por litro. Escribir este número en notación científica (Potencias base 10): 6.53*10^-6
Una ballena de aleta puede pesar hasta 2.6*10^5 libras, escriba este número en notación estandar (Decimal): 260 000
Un telescopio infrarrojo de un astrónomo puede detectar radiación de un rango de onda de 8.35*10^-5 metros. Escriba este número en notación estandar: 0.000 083 5
El diametro de plutón en el ecuador es aproximadamente de 2 390 km. Escribir este número en notación científica: 2.39*10^3
Cierta solución tiene una concentración de iones de 0.000 165 moles por litro. Escribir este número en notación científica: 1.65*10^-4
Un objeto puede pesar hasta 2.6*10^-5 libras. Escribir este número en notación decimal: 0.000 026
Una solución tiene una concentración de 3.54*10^-6 moles por litro. Escribir el número en notación estandar: 0.000 003 54
Una ballena jorobada puede pesar hasta 110 000 libras. Escribir el número en notación científica: 1.1*10^5

# Aplicar las leyes de los exponentes

x³ * x⁵ = x⁸
5³ * 5² = 3125
2⁴ * 2³ = 128
3^-2 * 3^-1 = 0.03703703703 = 3.7*10²
7⁵ * 7^-3 = 49
8^-2 * 8^-5 = 4.76837*10^-7
16⁰ = 0
(√25)⁰ = 0
(6 * 4)^-2 = 0.00173611111 = 1.73*10³
(10^-2)^3 = 0.000001 = 1*10^-6
(x^5)^4 = x^20
(x^-2)^-3 = x⁶
(4^2*7)⁰ = 0
(510^2)⁵ = 125 000 000 = 1.2510⁸
7⁵ / 7² = 343
10² / 10^-6 = 100 000 000 = 1*10⁸
2⁴ / 2³ = 2
15² / 15^-2 = 50625

# Números racionales e irracionales

Racionales: Se pueden expresar como el cociente de 2 enteros y su representación decimal es exacta o tiene periodicidad.
- 3.72: Exacta
- 4.833333333333333333333333333333: Periódica
- 7.251251251251251251251251251251: Periódica
Irracionales: No se pueden expresar como el cociente de 2 enteros y su representación decimal no es exacta, ni presenta periodicidad.
- √2, √3, π, 3π, √7, √9, √13
- 2.398269732034623976473290564387
- Y todos los posibles múltiplos o submúltiplos de ellos

# Actividad 13

Número	Racional	Irracional
2√6	✘	✔
-8.2828...	✔	✘
24.24	✔	✘
-15π	✘	✔
-(17/2)	✔	✘
-9π	✘	✔
-42.7575...	✔	✘
-√13	✘	✔
√25	✔	✘
-16π	✘	✔
-88.28	✔	✘
-2√3	✘	✔
-√9	✔	✘
-52.4646...	✔	✘
-22.8080...	✔	✘
4π	✘	✔
-√16	✔	✘
-√2	✘	✔
-42.76	✔	✘
20π	✘	✔
-52.46	✔	✘
-3√2	✘	✔
-43.8181...	✔	✘
√36	✔	✘
52.6363...	✔	✘
12π	✘	✔
-22.81	✔	✘
2√3	✘	✔
12/11	✔	✘
-7.3131...	✔	✘
-3π	✘	✔
√19	✘	✔
63.5757...	✔	✘

# Expresiones exponenciales logarítmicas

Logaritmo de un número es igual al exponente del cual hay que elevar una base para obtener dicho número

Forma exponencial: a ^ m = b
Forma logarítmica: logₐ = m

# Actividad 14

Pasar a representación logarítmica

2³ = 8 -> log₂ 8 = 3
3² = 9 -> log₃ 9 = 2
4² = 16 -> log₄ 16 = 2
7² = 49 -> log₇ 49 = 2
10² = 100 -> log₁₀ 100 = 2
6² = 36 -> log₆ 36 = 2
8² = 64 -> log₈ 64 = 2
2⁴ = 16 -> log₂ 16 = 4
3³ = 27 -> log₃ 27 = 3
10³ = 1000 -> log₁₀ 1000 = 3

# Propiedades de los logarítmos

logₐ (x*y) = logₐ x + logₐ y
logₐ (x/y) = logₐ x - logₐ y
logₐ xⁿ = n logₐ x

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# Utilizar las propiedades de los logaritmos para evaluar cada expresión

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log₂ 36 - 2 log₂ 3 = log₂ (36/9) = log₂ 4 = 2
logₑ e⁻⁸ - logₑ e³ = logₑ e⁻⁸⁺³ = logₑ e⁻⁵ = -5
log₆ 9 + 2 log₆ 2 = log₆ (9*4) = log₆ 36 = 2
logₑ e⁸ - logₑ e² = logₑ (e⁸/e²) = logₑ e⁶ = 6
2 log₁₂ 2 + log₁₂ 3 = log₁₂ (2² * 3¹) = log₁₂ 12 = 1
logₑ e² - logₑ e¹¹ = logₑ (e²/e¹¹) = logₑ e⁻⁹ = -9
log₃ 72 - 3 log₃ 2 = log₃ (72/8) = log₃ 9 = 2
logₑ e⁶ + logₑ e⁻¹² = logₑ e⁶⁻¹² = log e⁻⁶ = -6

# Funciones cuadráticas

y = f(x) = Ax² + Bx + C

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En los puntos de corte con el eje x, la y vale 0: (X₁, 0), (X₂, 0)

Ecuación cuadrática general: Ax² + Bx + C = 0 La solución arroja los valores de x₁ y x₂

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Ejemplo

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1x²+7x+12 = 0
-(7) ± √(7² - (4 * 1 * 12))
2 * 1
-7 ± 1
2
x₁ = -3
x₂ = -4
1x²-3x-10 = 0
-(-3) ± √(-3² - (4 * 1 * -10))
2 * 1
3 ± 7
2
x₁ = 5
x₂ = -2
1x²+10x+9 = 0
-(10) ± √(10² - (4 * 1 * 9))
2 * 1
-10 ± 8
2
x₁ = -1
x₂ = -9

# Actividad 3

Aplicar la formula general para obtener las raíces o soluciones de ecuaciones cuadráticas

2x²-6x-8 = 0
-(-6) ± √(-6² - (4 * 2 * -8))
2 * 2
6 ± 10
4
x₁ = 4
x₂ = -1
2x²-4x-30 = 0
-(-4) ± √(-4² - (4 * 2 * -30))
2 * 2
4 ± 16
4
x₁ = 5
x₂ = -3
2x²-3x+1 = 0
-(-3) ± √(-3² - (4 * 2 * 1))
2 * 2
3 ± 1
4
x₁ = 1
x₂ = 0.5
3x²+10x-5 = 0
-(10) ± √(10² - (4 * 3 * -5))
2 * 3
-10 ± 12.649110640673518
6
x₁ = 0.441518440112253
x₂ = -3.7748517734455866
5x²-3x-36 = 0
-(-3) ± √(-3² - (4 * 5 * -36))
2 * 5
3 ± 27
10
x₁ = 3
x₂ = -2.4
4x²+7x+3 = 0
-(7) ± √(7² - (4 * 4 * 3))
2 * 4
-7 ± 1
8
x₁ = -0.75
x₂ = -1
6x²-3x-18 = 0
-(-3) ± √(-3² - (4 * 6 * -18))
2 * 6
3 ± 21
12
x₁ = 2
x₂ = -1.5
7x²-9x+2 = 0
-(-9) ± √(-9² - (4 * 7 * 2))
2 * 7
9 ± 5
14
x₁ = 1
x₂ = 0.2857142857142857

# Actividad 4

Si a un número se le agrega su cuadrado se obtiene 90. Hallar el número
1x²+1x-90 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * -90))
2 * 1
-1 ± 19
2
x₁ = 9
x₂ = -10
Hallar el número cuyo cuadrado disminuido en el doble del número da 15
1x²-2x-15 = 0
-(-2) ± √(-2² - (4 * 1 * -15))
2 * 1
2 ± 8
2
x₁ = 5
x₂ = -3
Encontrar el número cuyo duplo de su cuadrado disminuido en el número es igual a 45
2x²-1x-45 = 0
-(-1) ± √(-1² - (4 * 2 * -45))
2 * 2
1 ± 19
4
x₁ = 5
x₂ = -4.5
Hallar 2 números que sumados den 12 y multiplicados den 35
1x²-12x+35 = 0
-(-12) ± √(-12² - (4 * 1 * 35))
2 * 1
12 ± 2
2
x₁ = 7
x₂ = 5
La suma de 2 números es 14 y la suma de sus cuadrados es 106. ¿Cuáles son esos números?
2x²-28x+90 = 0
-(-28) ± √(-28² - (4 * 2 * 90))
2 * 2
28 ± 8
4
x₁ = 9
x₂ = 5
La suma de los cuadrados de 3 números naturales consecutivos es 110- ¿Cuáles números son?
5x²+6x+7 = 0
-(6) ± √(6² - (4 * 5 * 7))
2 * 5
-6 ± -4
10
x₁ = -1
x₂ = -0.2
El producto de 2 números enteros consecutivos es 600. Hallar los números.
1x²+1x-600 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * -600))
2 * 1
-1 ± 49
2
x₁ = 24
x₂ = -25
Encontrar el número cuyo quintuple aumentado en 500 es igual a su cuadrado
1x²-5x-500 = 0
-(-5) ± √(-5² - (4 * 1 * -500))
2 * 1
5 ± 45
2
x₁ = 25
x₂ = -20
Hallar 2 números pares consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 116
1x²+28x+30 = 0
-(28) ± √(28² - (4 * 1 * 30))
2 * 1
-28 ± 25.768197453450252
2
x₁ = -1.1159012732748739
x₂ = -26.884098726725128
Hallar un número tal que la mitad de su cuadrado disminuida en 8 dé 120
1x²-8x-20 = 0
-(-8) ± √(-8² - (4 * 1 * -20))
2 * 1
8 ± 12
2
x₁ = 10
x₂ = -2
El perímetro de un rectángulo es de 140 m y el área es de 1200 m². Hallar sus dimensiones
1x²+1x+1 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
2 * 1
-1 ± -4
2
x₁ = -2.5
x₂ = 1.5
Un lado del rectángulo excede al ancho en 10 m y el área es de 2000 m². Hallar sus dimensiones
1x²+1x+1 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
2 * 1
-1 ± -4
2
x₁ = -2.5
x₂ = 1.5
Si al largo de un rectángulo se le restan 3 m se obtiene un cuadrado de 225 m² de área. Hallar las dimensiones y el área del rectángulo
1x²+1x+1 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
2 * 1
-1 ± -4
2
x₁ = -2.5
x₂ = 1.5
La base de un rectángulo es el doble de su altura y el área es de 228 m². Calcular sus dimensiones
1x²+1x+1 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
2 * 1
-1 ± -4
2
x₁ = -2.5
x₂ = 1.5
En un triangulo rectángulo el cateto mayor excede en 2 cm al menor y la hipotenusa supera en 2 cm al cateto mayor. Calcular la medida de cada lado
1x²+1x+1 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
2 * 1
-1 ± -4
2
x₁ = -2.5
x₂ = 1.5
Calcular el lado de un cuadrado cuya área disminuida en el producto del lado por 5 es igual a 126 m²
1x²+1x+1 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
2 * 1
-1 ± -4
2
x₁ = -2.5
x₂ = 1.5
La banqueta que rodea a un jardín rectángular es de 3 m de ancho. El jardín tiene 10 m más de largo que de ancho. Si el área del jardín es de 1496 m², ¿cúal es la longitud del lado exterior de la banqueta?
1x²+1x+1 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
2 * 1
-1 ± -4
2
x₁ = -2.5
x₂ = 1.5
Hallar el lado de un cuadrado; si si área se aumenta en el producto de dicho lado por 5 se hace igual a 500 m²
1x²+1x+1 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
2 * 1
-1 ± -4
2
x₁ = -2.5
x₂ = 1.5
En el octágono regular el apotema excede en 2 cm al lado del polígono. Si el área es de 320 cm², hallar las medidas del lado y de el apotema.
1x²+1x+1 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
2 * 1
-1 ± -4
2
x₁ = -2.5
x₂ = 1.5
El área de un trapecio es de 84 cm². La base mayor es el doble de la menor y la altura excede en 1 cm a la base menor. Determine la medida de cada una de ellas
1x²+1x+1 = 0
-(1) ± √(1² - (4 * 1 * 1))
2 * 1
-1 ± -4
2
x₁ = -2.5
x₂ = 1.5

alt text

# Suma de complejos

(A + Bi) + (C + Di) = (A + C) + (B + D)i

(+3+5i) + (+7+5i)
(+3+7) + (+5+5)i
10+10i
(+10+2i) + (+20+8i)
(+10+20) + (+2+8)i
30+10i
(-2+3i) + (-20+5i)
(-2-20) + (+3+5)i
-22+8i
(-8-7i) + (-7-3i)
(-8-7) + (-7-3)i
-15-10i
(+9-12i) + (-9+8i)
(+9-9) + (-12+8)i
0-4i

# Multiplicación de complejos

alt text

(+3+5i) * (+7+5i)
+21+15i+35i+25i²
+21+15i+35i-25
-4+50i
(+2+7i) * (-3-6i)
-6-12i-21i-42i²
-6-12i-21i+42
+36-33i
(-5-4i) * (-7+3i)
+35-15i+28i-12i²
+35-15i+28i+12
+47+13i
(-10+20i) * (+7-3i)
-70+30i+140i-60i²
-70+30i+140i+60
-10+170i
(-8+4i) * (-1-3i)
+8+24i-4i-12i²
+8+24i-4i+12
+20+20i
(+10-3i) * (-2+8i)
-20+80i+6i-24i²
-20+80i+6i+24
+4+86i

# Complejos conjugados

Si +3+5i es un complejo, su complejo conjugado será +3-5i, se cambia el signo de la parte imaginaria

# Actividad 5

(+6+5i) * (+6-5i)
+36-25i²
+36+25
+61
(+10+7i) * (+10-7i)
+100-49i²
+100+49
+149
(-4+2i) * (-4-2i)
+16-4i²
+16+4
+20
(-8+13i) * (-8-13i)
+64-169i²
+64+169
+233
(-9-8i) * (-9+8i)
+81-64i²
+81+64
+145
(-12-4i) * (-12+4i)
+144-16i²
+144+16
+160
(+15-8i) * (+15+8i)
+225-64i²
+225+64
+289
(+20-15i) * (+20+15i)
+400-225i²
+400+225
+625

# División de complejos

+3-5i
-4+3i
(+3-5i) * (-4-3i)
(-4+3i) * (-4-3i)
-12-9i+20i+15i²
+16+12
-12+11i+15i²
+28
-12+11i-15
+28
-3-21i
+28
-7-3i
+4+6i
(-7-3i) * (+4-6i)
(+4+6i) * (+4-6i)
-28+42i-12i+18i²
+16-24
-28+30i+18i²
-8
-28+30i-18
-8
-70+14i
-8
+8-5i
+7+8i
(+8-5i) * (+7-8i)
(+7+8i) * (+7-8i)
+56-64i-35i+40i²
+49-56
+56-99i+40i²
-7
+56-99i-40
-7
+120-8i
-7
+9-10i
+10+12i
(+9-10i) * (+10-12i)
(+10+12i) * (+10-12i)
+90-108i-100i+120i²
+100-120
+90-208i+120i²
-20
+90-208i-120
-20
+198-18i
-20
+4+6i
+11+12i
(+4+6i) * (+11-12i)
(+11+12i) * (+11-12i)
+44-48i+66i-72i²
+121-132
+44+18i-72i²
-11
+44+18i+72
-11
+92-4i
-11
+9+11i
+12-3i
(+9+11i) * (+12+3i)
(+12-3i) * (+12+3i)
+108+27i+132i+33i²
+144+36
+108+159i+33i²
+180
+108+159i-33
+180
+81+135i
+180

# Actividad 6

# Suma de complejos

(+3-7i) + (+10-8i)
(+3+10) + (-7-8)i
13-15i
(-4-6i) + (-2-3i)
(-4-2) + (-6-3)i
-6-9i
(+10-5i) + (-2+7i)
(+10-2) + (-5+7)i
8+2i
(-7+8i) + (-8-3i)
(-7-8) + (+8-3)i
-15+5i
(+11-2i) + (+7-3i)
(+11+7) + (-2-3)i
18-5i

# Resta de complejos

(+7+2i) - (-3+4i)
(+7+2i) + (+3-4i)
(+7+3) + (+2-4)i
10-2i
(+11-4i) - (+12+6i)
(+11-4i) + (-12-6i)
(+11-12) + (-4-6)i
-1-10i
(+9-8i) - (+4-6i)
(+9-8i) + (-4+6i)
(+9-4) + (-8+6)i
5-2i
(+4+4i) - (+7-7i)
(+4+4i) + (-7+7i)
(+4-7) + (+4+7)i
-3+11i
(-11+2i) - (-3+4i)
(-11+2i) + (+3-4i)
(-11+3) + (+2-4)i
-8-2i

# Multiplicación de complejos

(+7-3i) * (-8-6i)
-56-42i+24i+18i²
-56-42i+24i-18
-74-18i
(+10+4i) * (-6-7i)
-60-70i-24i-28i²
-60-70i-24i+28
-32-94i
(+9-6i) * (+10-4i)
+90-36i-60i+24i²
+90-36i-60i-24
+66-96i
(+10-3i) * (+7+6i)
+70+60i-21i-18i²
+70+60i-21i+18
+88+39i
(-4-6i) * (-8-7i)
+32+28i+48i+42i²
+32+28i+48i-42
-10+76i

# División de complejos

-4+8i
-6-7i
(-4+8i) * (-6+7i)
(-6-7i) * (-6+7i)
+24-28i-48i+56i²
+36-42
+24-76i+56i²
-6
+24-76i-56
-6
+52-4i
-6
+11-10i
-3-11i
(+11-10i) * (-3+11i)
(-3-11i) * (-3+11i)
-33+121i+30i-110i²
+9-33
-33+151i-110i²
-24
-33+151i+110
-24
-154+88i
-24
-5-3i
-8-2i
(-5-3i) * (-8+2i)
(-8-2i) * (-8+2i)
+40-10i+24i-6i²
+64-16
+40+14i-6i²
+48
+40+14i+6
+48
+50+30i
+48
-7+2i
-9-3i
(-7+2i) * (-9+3i)
(-9-3i) * (-9+3i)
+63-21i-18i+6i²
+81-27
+63-39i+6i²
+54
+63-39i-6
+54
+84+42i
+54
-8-12i
-2-7i
(-8-12i) * (-2+7i)
(-2-7i) * (-2+7i)
+16-56i+24i-84i²
+4-14
+16-32i-84i²
-10
+16-32i+84
-10
+72-40i
-10

# Actividad 7

2 multiplicaciones y dividir sus resultados
1. (+3+7i) * (-2-5i)
  -6-15i-14i-35i²
  -6-15i-14i+35
  +29-29i
2. (-3-11i) * (+2+4i)
  -6-12i-22i-44i²
  -6-12i-22i+44
  +38-34i
3. -10+24i
  -24-10i
  (-10+24i) * (-24+10i)
  (-24-10i) * (-24+10i)
  +240-100i-576i+240i²
  +576-240
  +240-676i+240i²
  +336
  +240-676i-240
  +336
  +340+140i
  +336
2 multiplicaciones y dividir sus resultados
1. (-4-6i) * (-2-3i)
  +8+12i+12i+18i²
  +8+12i+12i-18
  -10+24i
2. (-3+2i) * (+4+6i)
  -12-18i+8i+12i²
  -12-18i+8i-12
  -24-10i
3. -10-24i
  -24-10i
  (-10-24i) * (-24+10i)
  (-24-10i) * (-24+10i)
  +240-100i+576i-240i²
  +576-240
  +240+476i-240i²
  +336
  +240+476i+240
  +336
  +340+140i
  +336
2 multiplicaciones y dividir sus resultados
1. (-3+7i) * (-5+2i)
  +15-6i-35i+14i²
  +15-6i-35i-14
  +1-41i
2. (-4+2i) * (-8+3i)
  +32-12i-16i+6i²
  +32-12i-16i-6
  +26-28i
3. +1-41i
  +26-28i
  (+1-41i) * (+26+28i)
  (+26-28i) * (+26+28i)
  +26+28i-1066i-1148i²
  +676+728
  +26-1038i-1148i²
  +1404
  +26-1038i+1148
  +1404
  -2+54i
  +1404

# Gráficas de números complejos

alt text

# Gráfica de complejos

Se llama módulo al número complejo Z

|Z| = √(+3+4i)
|Z| = √(+9+16)
|Z| = √(25) = 5.000
Módulo de +3+4i=5.000
tg⁻¹(3/4)=36.870
Z = 5.000(cos36.870°+sen36.870°i)

# Actividad 8

Dados los siguientes complejos (Z)

Graficar
Calcular módulo (Z)
Calcular argumento (θ)

alt text

|Z| = √(+3+7i)
|Z| = √(+9+49)
|Z| = √(58) = 7.616
Módulo de +3+7i=7.616
tg⁻¹(3/7)=23.199
Z = 7.616(cos23.199°+sen23.199°i)
|Z| = √(+5+2i)
|Z| = √(+25+4)
|Z| = √(29) = 5.385
Módulo de +5+2i=5.385
tg⁻¹(5/2)=68.199
Z = 5.385(cos68.199°+sen68.199°i)
|Z| = √(+8+3i)
|Z| = √(+64+9)
|Z| = √(73) = 8.544
Módulo de +8+3i=8.544
tg⁻¹(8/3)=69.444
Z = 8.544(cos69.444°+sen69.444°i)
|Z| = √(-3+2i)
|Z| = √(+9+4)
|Z| = √(13) = 3.606
Módulo de -3+2i=3.606
tg⁻¹(-3/2)=-56.310
Z = 3.606(cos-56.310°+sen-56.310°i)
|Z| = √(-6+3i)
|Z| = √(+36+9)
|Z| = √(45) = 6.708
Módulo de -6+3i=6.708
tg⁻¹(-6/3)=-63.435
Z = 6.708(cos-63.435°+sen-63.435°i)
|Z| = √(-5+7i)
|Z| = √(+25+49)
|Z| = √(74) = 8.602
Módulo de -5+7i=8.602
tg⁻¹(-5/7)=-35.538
Z = 8.602(cos-35.538°+sen-35.538°i)
|Z| = √(-4-7i)
|Z| = √(+16+49)
|Z| = √(65) = 8.062
Módulo de -4-7i=8.062
tg⁻¹(-4/-7)=29.745
Z = 8.062(cos29.745°+sen29.745°i)
|Z| = √(-2-3i)
|Z| = √(+4+9)
|Z| = √(13) = 3.606
Módulo de -2-3i=3.606
tg⁻¹(-2/-3)=33.690
Z = 3.606(cos33.690°+sen33.690°i)
|Z| = √(-8-2i)
|Z| = √(+64+4)
|Z| = √(68) = 8.246
Módulo de -8-2i=8.246
tg⁻¹(-8/-2)=75.964
Z = 8.246(cos75.964°+sen75.964°i)
|Z| = √(+4-8i)
|Z| = √(+16+64)
|Z| = √(80) = 8.944
Módulo de +4-8i=8.944
tg⁻¹(4/-8)=-26.565
Z = 8.944(cos-26.565°+sen-26.565°i)
|Z| = √(+7-3i)
|Z| = √(+49+9)
|Z| = √(58) = 7.616
Módulo de +7-3i=7.616
tg⁻¹(7/-3)=-66.801
Z = 7.616(cos-66.801°+sen-66.801°i)

# Forma binómica de un complejo Z

X = a + bi
Módulo (Z) = |Z| = √(a² + b²)
Argumento (Z) = θ
- θ = tg⁻¹ (a / b)
- θ = cos⁻¹ (a / |Z|)
- θ = sen⁻¹ (b / |Z|)
cos θ = a / |Z| => a = |Z| cos θ
sen θ = b / |Z| => b = |Z| sen θ

-	Forma binómica	Forma polar
Z	a + bi	\|Z\| cos θ + \|Z\| sen θ i

# Actividad 9

Expresar en forma polar los siguientes complejos

|Z| = √(+4+6i)
|Z| = √(+16+36)
|Z| = √(52) = 7.211
Módulo de +4+6i=7.211
tg⁻¹(4/6)=33.690
Z = 7.211(cos33.690°+sen33.690°i)
|Z| = √(+5+2i)
|Z| = √(+25+4)
|Z| = √(29) = 5.385
Módulo de +5+2i=5.385
tg⁻¹(5/2)=68.199
Z = 5.385(cos68.199°+sen68.199°i)
|Z| = √(-4-2i)
|Z| = √(+16+4)
|Z| = √(20) = 4.472
Módulo de -4-2i=4.472
tg⁻¹(-4/-2)=63.435
Z = 4.472(cos63.435°+sen63.435°i)
|Z| = √(-6-7i)
|Z| = √(+36+49)
|Z| = √(85) = 9.220
Módulo de -6-7i=9.220
tg⁻¹(-6/-7)=40.601
Z = 9.220(cos40.601°+sen40.601°i)

Expresar la forma binómica de los siguientes complejos

Z = 3 (cos 45° + sen 45° i) = Z = 2.12 + 2.12i
Z = 7 (cos 60° + sen 60° i) = Z = 3.50 + 6.06i

# Actividad 10

Escribir en términos de i y simplificar la respuesta

√-32 = √16 * √2 * √-1 = 4i√2
√-75 = √25 * √3 * √-1 = 5i√3
√-80 = √40 * √5 * √-1 = 4i√5
√-54 = √27 * √6 * √-1 = 3i√6
√-8 = √4 * √2 * √-1 = 2i√2

No dejar número negativos dentro de los rádicales, ni radicales en los denominadores

√-48 / √-6 = √8 = 2√2
√-8 * √2 = √-16 = 4i
√-75 / √-3 = √25 = 5
√-11 * √7 = √-77 = i√77
√7 * √-5 = i√35
√-70 / √10 = √-7 = i√7
√10 * √-3 = i√30
√-15 / √5 = √-3 = i√3
√-2 * √-3 = √6
√-180 / √10 = √-18 = 3i√2

Suma y Resta

(-3-3i) - (-6+5i)
(-3-3i) + (+6-5i)
(-3+6) + (-3-5)i
3-8i
(-5-4i) - (+2+4i)
(-5-4i) + (-2-4i)
(-5-2) + (-4-4)i
-7-8i
(-4+6i) - (-2+2i)
(-4+6i) + (+2-2i)
(-4+2) + (+6-2)i
-2+4i
(+5-5i) + (+6-3i)
(+5+6) + (-5-3)i
11-8i
(+4-4i) + (-6-3i)
(+4-6) + (-4-3)i
-2-7i

Multiplicación

(-4-6i) * (+2+2i)
-8-8i-12i-12i²
-8-8i-12i+12
+4-20i
(+2-6i) * (+5-4i)
+10-8i-30i+24i²
+10-8i-30i-24
-14-38i
(+5-5i) * (+2+6i)
+10+30i-10i-30i²
+10+30i-10i+30
+40+20i
(+4-3i) * (+6+4i)
+24+16i-18i-12i²
+24+16i-18i+12
+36-2i
(-6+6i) * (-4+3i)
+24-18i-24i+18i²
+24-18i-24i-18
+6-42i

Dividir

+1-6i
-3-2i
(+1-6i) * (-3+2i)
(-3-2i) * (-3+2i)
-3+2i+18i-12i²
+9-6
-3+20i-12i²
+3
-3+20i+12
+3
-5-1i
+3
+1-4i
+3-4i
(+1-4i) * (+3+4i)
(+3-4i) * (+3+4i)
+3+4i-12i-16i²
+9+12
+3-8i-16i²
+21
+3-8i+16
+21
-1+7i
+21
-2+3i
+3+4i
(-2+3i) * (+3-4i)
(+3+4i) * (+3-4i)
-6+8i+9i-12i²
+9-12
-6+17i-12i²
-3
-6+17i+12
-3
-14+2i
-3
+2+2i
+3-4i
(+2+2i) * (+3+4i)
(+3-4i) * (+3+4i)
+6+8i+6i+8i²
+9+12
+6+14i+8i²
+21
+6+14i-8
+21
-2+14i
+21
-3+3i
+5-2i
(-3+3i) * (+5+2i)
(+5-2i) * (+5+2i)
-15-6i+15i+6i²
+25+10
-15+9i+6i²
+35
-15+9i-6
+35
-9-21i
+35

Gráficar

|Z| = √(+3-1i)
|Z| = √(+9+1)
|Z| = √(10) = 3.162
Módulo de +3-1i=3.162
tg⁻¹(3/-1)=-71.565
Z = 3.162(cos-71.565°+sen-71.565°i)
|Z| = √(-7+5i)
|Z| = √(+49+25)
|Z| = √(74) = 8.602
Módulo de -7+5i=8.602
tg⁻¹(-7/5)=-54.462
Z = 8.602(cos-54.462°+sen-54.462°i)
|Z| = √(+6-1i)
|Z| = √(+36+1)
|Z| = √(37) = 6.083
Módulo de +6-1i=6.083
tg⁻¹(6/-1)=-80.538
Z = 6.083(cos-80.538°+sen-80.538°i)
|Z| = √(-2+8i)
|Z| = √(+4+64)
|Z| = √(68) = 8.246
Módulo de -2+8i=8.246
tg⁻¹(-2/8)=-14.036
Z = 8.246(cos-14.036°+sen-14.036°i)
|Z| = √(+2-1i)
|Z| = √(+4+1)
|Z| = √(5) = 2.236
Módulo de +2-1i=2.236
tg⁻¹(2/-1)=-63.435
Z = 2.236(cos-63.435°+sen-63.435°i)
|Z| = √(-4+8i)
|Z| = √(+16+64)
|Z| = √(80) = 8.944
Módulo de -4+8i=8.944
tg⁻¹(-4/8)=-26.565
Z = 8.944(cos-26.565°+sen-26.565°i)
|Z| = √(-1+1i)
|Z| = √(+1+1)
|Z| = √(2) = 1.414
Módulo de -1+1i=1.414
tg⁻¹(-1/1)=-45.000
Z = 1.414(cos-45.000°+sen-45.000°i)
|Z| = √(+6-3i)
|Z| = √(+36+9)
|Z| = √(45) = 6.708
Módulo de +6-3i=6.708
tg⁻¹(6/-3)=-63.435
Z = 6.708(cos-63.435°+sen-63.435°i)
|Z| = √(-2+1i)
|Z| = √(+4+1)
|Z| = √(5) = 2.236
Módulo de -2+1i=2.236
tg⁻¹(-2/1)=-63.435
Z = 2.236(cos-63.435°+sen-63.435°i)
|Z| = √(+3-6i)
|Z| = √(+9+36)
|Z| = √(45) = 6.708
Módulo de +3-6i=6.708
tg⁻¹(3/-6)=-26.565
Z = 6.708(cos-26.565°+sen-26.565°i)

alt text

# Actividad 11

Todos son números reales. Simplificar la respuesta

v² = 36 v = ±6
v² = 16 v = ±4
w² = 49 w = ±7
x² = 36 x = ±6
y² = 25 y = ±5

Simplificar el número complejo lo más que se pueda

1⁴⁵ = (i²)²² * (i) = (-1)²² * i = i
1²⁹ = (i²)¹⁴ * (i) = i
1⁵⁵ = (i²)²⁷ * (i) = (-1)²⁷ * i = -i
1⁴³ = (i²)²¹ * (i) = (-1)²¹ * i = -i
1⁴⁶ = (i²)²³ = -1

Simplificar esto

[x - (4 - 3i)] * [x - (4 - 3i)] = x² - 8x + 25
[x - (6 - 2i)] * [x - (6 - 2i)] = x² - 12x + 40
[x - (2 - 5i)] * [x - (2 - 5i)] = x² - 4x + 29
[x - (4 - 5i)] * [x - (4 - 5i)] = x² - 8x + 41
[x - (5 - 2i)] * [x - (5 - 2i)] = x² - 10x + 29

Resolver para x

4x² - 24x = 0 => 4x² (x - 6) = 0 4x = 0 | x - 6 = 0 x₁ = 0 | x₂ = 6
3x² + 21x = 0 => 3x² (x + 7) = 0 3x = 0 | x + 7 = 0 x₁ = 0 | x₂ = -7
5x² + 10x = 0 => 5x² (x + 2) = 0 5x = 0 | x + 2 = 0 x₁ = 0 | x₂ = -2
3x² - 18x = 0 => 3x² (x - 6) = 0 3x = 0 | x - 6 = 0 x₁ = 0 | x₂ = 6
6x² - 24x = 0 => 6x² (x - 4) = 0 6x = 0 | x - 4 = 0 x₁ = 0 | x₂ = 4

# Actividad 12

Resolver para X

(x + 6)² = 2x² + 22x +

x² + 12x + 36 = 2² + 22x + 60
x₁ = -6
x₂ = -4

(x - 5)² = 2x² - 6x + 28

x² - 10x + 25 = 2x² - 6x + 28
x₁ = -3
x₂ = -1

(x - 2)² = 2x² - 13x + 24

x² - 4x + 4 = 2x² - 13x + 24
x₁ = 4
x₂ = 5

(x - 3)² = 2x² - 16x + 30

x² - 6x + 9 = 2x² - 16x + 30
x₁ = 3
x₂ = 7

(x + 2)² = 2x² + 13x + 18

x² + 4x + 4 = 2x² + 13x + 18
x₁ = -7
x₂ = -2

(x + 2)² - 50 = 0

(x + 2)² = 50
x + 2 = ± √50
x = - 2 ± √50
x₁ = - 2 + √50
x₂ = - 2 - √50

(x + 6)² - 32 = 0

(x + 6)² = 32
x + 6 = ± √32
x = - 6 ± √32
x₁ = - 6 + √32
x₂ = - 6 - √32

(x - 10)² - 18 = 0

(x - 10)² = 18
x - 10 = ± √18
x = 10 ± √18
x₁ = 10 + √18
x₂ = 10 - √18

(x - 2)² - 80 = 0

(x - 2)² = 80
x - 2 = ± √80
x = 2 ± √80
x₁ = 2 + √80
x₂ = 2 - √80

(x + 10)² - 45 = 0

(x + 10)² = 45
x + 10 = ± √45
x = - 10 ± √45
x₁ = - 10 + √45
x₂ = - 10 - √45

³√x = 2

x = 2³
x = 8

⁴√x = 3

x = 3⁴
x = 81

³√x = 3

x = 3³
x = 27

⁴√x = 2

x = 2⁴
x = 16

Kira está corriendo en una carretera. Ella corre 11.2 millas a una velocidad de 7 millas por hora ¿Cuantás horas corre?

Distancia = Velocidad * Tiempo
Tiempo = Distancia / Velocidad = 11.2 millas / 7 millas por hora = 1.6 horas

Deandra saliá a caminar. Él se tardó 3 horas en caminar 7.5 millas. ¿Cuál es su velocidad?

Velocidad = Distancia * Tiempo = 3 horas * 7.5 millas = 1 hora * 2.5 millas = 2.5 millas por hora

Una tortuga camina en el desierto. Camina 7.5 metros en 3 minutos. ¿Cuál es su velocidad?

Velocidad = Distancia * Tiempo = 3 minutos * 7.5 metros = 1 hora * 150 metros = 150 metros por hora

Una tortuga camina en el desierto. Camina 17.5 metros a una velocidad de 7 metros por minuto. ¿Cuantos minutos camina?

17.5 metros / 7 metros por minuto = 2.5 minutos

# Actividad 13

El área de un rectángulo de 21 ft² y la longitud del rectángulo es 1 ft menos que el doble del ancho. Hallar las dimensiones del rectángulo

2x - 1
x (2x - 1) = 21
2x² - x - 21 = 0
x₁ = 3
x₂ = 3.5

El área de un rectángulo de 44 ft² y la longitud del rectángulo es 3 ft menos que el doble del ancho. Hallar las dimensiones del rectángulo

2x² - 3x = 44
2x² - 3x - 44 = 0
(2x - 3) x = 2x² - 3x
x₁ = 5.5
x₂ = -4

La longitud del rectángulo es 5 yd más que el doble del ancho, y el área es de 42 yd². Hallar las dimensiones del rectángulo

2x² + 5x = 42
2x² + 5x -42 = 0
x₁ = 3.5
x₂ = -6

Lanzan una pelota de una altura inicial de 4 pies con una velocidad de 33 pies/segundo, la altura h (en pies) después de t segundos se obtiene con: h = 4 + 3t - 16t². Hallar los valores de t para los cuales la altura h de la pelota es 20 pies

h = 20
h = 4 + 33t - 16t²
t = 1.28
-16t² + 33t + 6 = 0
t₂ = 0.77

Lanzan un cohete con una velocidad de 235 ft/segundo. La altura h (en pies) después de t seg se obtiene con: h = 235t - 16t². Hallar los valores de t para h = 151 ft

h = 235t - 16t²
-16t² + 235 - 151 = 0
x = √427 = 20.66

Un edificio que mide 27 m proyecta una sombra. La distancia desde la cima del edificio a la punta de la sombra es 34 m. Hallar la longitud de la sombra

x² + (27)² = 34²
x = √427 = 20.66

Un papalote que vuela en el aire tiene una línea que mide 11 ft. Su linea se tensa y proyecta una sombra de 8ft. Hallar la altura del papalote.

h² + 8² = 11²

Un papalote que vuela en el aire tiene una línea que mide 12 ft. Su linea se tensa y proyecta una sombra de 11ft. Hallar la altura del papalote.

h² + 11² = 12²
√(141 - 121)
√23 = 4.79

Convertir el enunciado en ecuación. La suma de 2 por un número y 6 es equvalente a 7

2 * (w - 2) = 7

Convertir el enunciado en ecuación. El doble de la diferencia entre un número y 2 es equivalente a 7

2x + 6 = 7

# Actividad 14

A continuación se muestran los diagramas de dispersión de 4 conjuntos de datos. Contestar las siguientes preguntas

alt text

a) Seleccionar el conjunto de datos que tiene un valor atípico
- Figura 1
b) Seleccionar los 2 conjuntos que muestran agrupamiento
- Figura 2
- Figura 4

El diagrama de Venn muestra las membrecias del club de Voleibol y del club de tenis. Utilizar el diagrama para contestar las preguntas a continuación

alt text

a) ¿Cuantas preguntas juegan tenis? 6
b) ¿Cuantas personas juegan Voleibol y tenis? 2
c) ¿Cuantas personas juegan Voleibol pero no tenis? 3

Si la altura de vista de una persona es h metros sobre el nivel del mar, este puede ver hasta d kilómetros en el horizonte, donde d = 3.6√h. Supongamos que una persona puede ver hasta d = 18.9 kilómetros en el horizonte. ¿Cuál es la altura h sobre el nivel del mar de su vista? 18.9 = 3.6√h

√h = 18.9/3.6 => (√h)² = (18.9/3.6)² = 27.56

Resolver para v

alt text

(4v + 3) * (2v + 1) = 0
v¹ = -3/4
v₂ = -1/2